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extension algébrique

Posté par
romu 12-04-08 à 11:48

Bonjour,

pourquoi pour deux nombres algébriques a et b sur \mathbb{Q}, l'extension \mathbb{Q}(a,b)/\mathbb{Q} est finie?

Merci

Posté par
Tigweg Correcteurre : extension algébrique 12-04-08 à 12:04

Salut romu!

Tout simplement parce que le polynome minimal de a et de b sur Q sont de degrés finis et que le polynome minimal de b sur Q annule aussi b sur Q(a):

Par suite le polynome minimal de b sur Q(a) divise le polynome minimal de b sur Q, donc a un degré plus petit.Or ce degré n´est autre que celui de l´extension Q(a,b)/Q(a).

De meme, Q(a)/Q est égal eu degré du polynome minimal de a sur Q, qui est fini par hypothese.

On conclut par la formule de la base téléscopique.

Posté par
romure : extension algébrique 12-04-08 à 12:14

je vois, dur à mettre en place ces mécanismes, merci tigweg

Posté par
Tigweg Correcteurre : extension algébrique 12-04-08 à 12:17

Avec plaisir romu!

Posté par
H_aldnoerre : extension algébrique 12-04-08 à 12:51

Un petit truc peut être :
[\mathbb{Q}(a,b):\mathbb{Q}]=[\mathbb{Q}(a)(b):\mathbb{Q}]=[\mathbb{Q}(a)(b):\mathbb{Q}(a)][\mathbb{Q}(a):\mathbb{Q}]==[K(b):K][\mathbb{Q}(a):\mathbb{Q}] avec K=\mathbb{Q}(a)

a algébrique sur \mathbb{Q} \Leftrightarrow [\mathbb{Q}(a):\mathbb{Q}]<+\infty

et

b algébrique sur \mathbb{Q} \Leftrightarrow [K(b):K]<+\infty

On a donc bien [\mathbb{Q}(a,b):\mathbb{Q}]<+\infty.
A vérifier.

Posté par
Tigweg Correcteurre : extension algébrique 12-04-08 à 13:04

Salut H!

En fait tu n´as pas justifié rigoureusement que [K(b):K]<+\infty.

Pour ce faire, il faut raisonner avec les polynomes minimaux, comme je l´ai fait.
(Ma démonstration ne t´a pas convaincu?)

Posté par
1 Schumi 1re : extension algébrique 12-04-08 à 13:22

Salut tout le monde,

romu >> Je sais que tu aimes bien les "jonglages" comme tu dis. Tu peux donc essayer de retrouver une démo en prouvant que "a est algébrique sur Q <==> Q(a) est de dimension finie en tant que Q-ev". Du pur jonglage.

Posté par
Tigweg Correcteurre : extension algébrique 12-04-08 à 13:54

Salut Ayoub

Au fait romu, tu avais compris ma réponse sur les espaces préhilbertiens?

Posté par
1 Schumi 1re : extension algébrique 12-04-08 à 13:57

Salut Greg

Citation :
tu avais compris ma réponse sur les espaces préhilbertiens?

Pas de gros mots sur ce forum, stp!

Posté par
Tigweg Correcteurre : extension algébrique 12-04-08 à 14:02

Pourquoi gros mots?
Tu n´aimes plus l´analyse?

Posté par
romure : extension algébrique 12-04-08 à 15:47

salut Ayoub et H_aldnoer,

Citation :
Tu peux donc essayer de retrouver une démo en prouvant que "a est algébrique sur Q <==> Q(a) est de dimension finie en tant que Q-ev"


oui j'ai déjà vu ce critère au début du cours

Citation :
Au fait romu, tu avais compris ma réponse sur les espaces préhilbertiens?


oui c'était parfaitement clair

Je vois pas non plus où est le gros mot, je trouve plus de gros mots dans la théorie des corps que dans celle des banach

Posté par
Tigweg Correcteurre : extension algébrique 12-04-08 à 16:11

Héhé , bien dit romu!

Posté par
H_aldnoerre : extension algébrique 12-04-08 à 22:34

Citation :
En fait tu n´as pas justifié rigoureusement


Comment ça?
J'ai l'équivalence suivante :
a algébrique sur K \Leftrightarrow [K(a):K]<+\infty

Posté par
H_aldnoerre : extension algébrique 12-04-08 à 22:34

Bonsoir à tous!

Posté par
Tigweg Correcteurre : extension algébrique 12-04-08 à 23:01

Oui mais y a des polynomes minimaux qui sont cachés des qu´on change de corps, ce que tu as fait!

En fait je pensais que tu reprenais ma démo parce que tu y voyais une incorrection.

Posté par
H_aldnoerre : extension algébrique 13-04-08 à 21:08

Citation :
En fait je pensais que tu reprenais ma démo parce que tu y voyais une incorrection.

Bien sûr que non Tig!

Posté par
magalimxxxextension algébrique 13-04-08 à 21:10

haaaa mais c'est un forum de discution ici ^^ beh je pense qu'il ny a rien a résoudre ici ^^

Posté par
H_aldnoerre : extension algébrique 13-04-08 à 21:11

Citation :
haaaa mais c'est un forum de discution ici ^^ beh je pense qu'il ny a rien a résoudre ici ^^


Pardon?

Posté par
Tigweg Correcteurre : extension algébrique 14-04-08 à 15:00

En fait c´est surtout un forum de maths, initialement!


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