Voila ma définition :
On a E/K et K[a]/K qui sont deux sous-extensions de L/K.
Le compositum de ces deux sous-extensions est la plus petite sous-extensions de L/K contenant E et K[a].

Tu vas dire que je me moque, mais je suis sérieuse... Une seule méthode: la double inclusion!

Voila donc la stratégie :
je pose F le compositum, je montre que ?

Absolument! et ce n'est pas très difficile...

On a donc :



(puisque F est le compositum de E et K[a])
K[a] est le plus petit corps contenant K et a, par conséquent .

D'ou, et implique que .

J'ai plus de mal sur la seconde inclusion.

Ca c'est OK.

L'autre utilise le fait que F est le plus petit tel que ...

Je vois pas!
Dois-je utiliser la définition de ?

Comme E contient K, E[a] contient contient K[a] (oui, ça vient de la définition, mais c'est évident), puis bien sûr, E[a] contient E, donc E[a] contient F.

Ok!
C'est parfait!

Dans la suite (en fin!) on me dit que :
E/K est de degré m premier à n. Justifiez que [E[a]:K]=nm, en déduire le degré de [E[a]:E] et l'égalité Irr(a,E,X)=Irr(a,K,X).

Donc on a toujours .
Deplus si [K[a]:K]=n et [E:K]=m avec , on a égalité.

C'est exactement ce que l'on a : E/K est de degré m et [K[a]:K]=deg Irr(a,K,X)=deg a=n. Comme m et n sont premiers entre eux on a .

Par suite, E[a]/K est une extension finie équivaut à E[a]/E et E/K sont des extensions finies et [E[a]:K]=[E[a]:E][E:K] soit [E[a]:E]=n. D'ou deg Irr(a,E,X)=n.

Enfin, Irr(a,K,X) est un polynôme de K[X] donc de E[X] s'annulant en a, par définition on a Irr(a,E,X) | Irr(a,K,X).
Les deux polynômes sont unitaires et de même degré, donc sont égaux.

C'est quoi, Irr(a,E,X)?

C'est un polynôme non nul de E[X] qui est unitaire, irréductible et qui s'annule en a. (polynôme minimale peut être ?)

Oui, avec cette description c'est bien le polynôme minimal de A sur E.
J'ai compris ton histoire, ça a l'air juste.

Merci bien Camélia!