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Extension normale

Posté par
fade2black 19-03-09 à 18:19

Bonjour,

j'ai un problème pour montrer qu'une extension est normale.

On pose q une puissance d'un nombre premier p, n un entier non divisible par p, on considère les corps K=F_q(Y^n), L=F_q(Y).

J'ai montré que l'extension L/K était séparable. Il me faut maintenant montrer que L/K est normale ssi q1 [n].

Je n'arrive à faire aucun de deux sens. Un peu d'aide...?

Merci d'avance !

Posté par
fade2blackre : Extension normale 19-03-09 à 22:59

up !

Posté par
Rodrigore : Extension normale 20-03-09 à 03:47

Bonsoir,
Bon ben supposons qu'elle est normale alors on s'intéresse ici au polynôme à coeff  dans k(y^n) (k=F_q), T^n-y^n, dans une cloture algébrique de k(y^n) il s'écrit \Prod_{i=0}^{n-1}(T-\zeta^i Y) ou zeta est une racine primitive n-ième de l'unité (ce qui est bien possible puisque (n,p)=1).
Reste a voir si les racines n-ieme de l'unité sont dans k(Y^n) aucun espoir de les trouver pour  autre chose qu'une constante. Donc il revient à se demander quand est ce que F_q contient les racines n-ième de l'unité. C'est à dire quand est ce que le polynome X^n-1 est scindé sur F_q, il y est toujours spérable, et les elements de F_q verifient x^{q-1}=1...je te laisse conclure.

Posté par
apaugamre : Extension normale 20-03-09 à 07:00

Je ne suis pas d'accord
soyons concret
n=16 non divisible par 3 et q=9=3^2
Le corps \mathbb F_9 que l'on obtient par exemple comme
\mathbb F_3[X]/(X^2-X-1) ou \mathbb F_3[X]/(X^2+X-1)~ou~\mathbb F_3[X]/(x^2+1)
a pour élément 0 et les 8 racines distinctes de X^8-1.
En effet X^9-X
polynôme étranger avec sa dérivée sur \mathbb F_3
se décompose facilement dans \mathbb F_3
et complètement dans \mathbb F_9, par définition de \mathbb F_9
X^9-X=X(X^8-1)=X(X^4+1)(X^2+1)(X-1)(X+1)
et \Phi_8(X)=X^4+1=(X^2-1)^2+2X^2=(X^2-1)^2-X^2=(X^2-X-1)(X^2+X-1) \\

Etudions maintenant X^{16}-1 sur \mathbb F_9
il est étranger avec sa dérivée
-(X^{16}-1)+X\times(16X^{15})=1 car 16=1 dans \mathbb F_9
donc il a 16 racines dans une cloture algébrique.
et \mathbb F_9 n'a que 9 éléments.

à mon avis

l'extension \mathbb F_9(Y^8) sur \mathbb F_9(Y) est normale
et
l'extension \mathbb F_9(Y^{16}) sur\mathbb F_9(Y) ne l'est pas

Dites moi si je fais une erreur

Posté par
Rodrigore : Extension normale 20-03-09 à 07:55

Oui... mais 9 n'est pas congru à 1 mod 16...donc on est bien d'accord...

De toute façon ici on s'est placé (implicitement) dans le cas ou q>n car sinon la condition q=1[n] devient q=1 et c'est pénible pour la puissance d'un nombre premier. De la meme façon quand q<n F_q ne contiendra jamais toutes les racines n-ièmes de l'unité pour des raisons de cardinal evidentes..

Donc si q<n l'extension ne sera jamais normale et la condition q=1[n] jamais vérifiée...donc on exclut ce cas d'emblée mais peut etre effectivement aurais-je du commencer par là.

Posté par
apaugamre : Extension normale 20-03-09 à 09:22

j'avais mal lu effectivement
si q=1 mod n les racines neme sont distinctes et font partie des q-1 racines (q-1)eme de l'unité, éléments non nuls de \mathbb F_q

Posté par
fade2blackre : Extension normale 20-03-09 à 17:55

Merci vos réponses

Citation :
ce qui est bien possible puisque (n,p)=1


Ca veut dire quoi (n,p)=1 ? Et pouquoi ça serait pas toujours possible ?

Posté par
Ksilverre : Extension normale 20-03-09 à 18:15

(n,p)=1 ca veut dire pgcd(n,p)=1.

sans cette hypothèse les "racines n-iemme" de l'unité n'existe pas (enfin... elle existe, mais il y en à pas n distincte, par exemple la seul racine p-iemme de l'unité est 1 avec multiplicité p car x^p-1=(x-1)^p )

Posté par
apaugamre : Extension normale 21-03-09 à 03:55

(n,p)=1 cela permet d'avoir une identité de bezout dans \mathbb Z
il existe u et v tel que un+vp=1
De cette identité on déduit que X^n-1 est étranger avec sa dérivée (identité de Bezout) et donc a exactement n racines simples dans son corps de décomposition ou dans une cloture algébrique de \mathbb F_q

En effet, dans \mathbb F_q[X] on a p=0. Donc un=1

(uX)(nX^{n-1})- (X^n-1)=1

Posté par
fade2blackre : Extension normale 22-03-09 à 19:57

apaugam, tu écris que dans Fq, p=0.

C'est plutôt q qui vaut 0 dans Fp, non ?

Posté par
fade2blackre : Extension normale 22-03-09 à 20:02

Houla ça va plus moi, Fq est de caractéristique p, donc p=0 dans Fq, pas de problème.

Mais ceci dit ça me semble bizarre. Ca veut dire que dans F8, 2=4=6=8=0 ?

Posté par
apaugamre : Extension normale 23-03-09 à 01:31

eh oui !
pour bien comprendre va voir de plus près la liste des éléments du corps à 16 éléments dans les livres et tous les calculs que l'ont peut faire avec.
Dans mon livre questions délicates en algèbre et géométrie page 195
ou dans celui de Jean Pierre Escofier Théorie de Galois ds les exercices du chapitre sur les corps finis

pour le corps à 8 éléments deux manieres de le presenter

\mathbb F_2[X]/(X^3+X+1) ou \mathbb F_2[X]/(X^3+X^2+1)
dans la deuxieme maniere de le presenter les 8 elements sont (x désigne la classe de X)
0, 1, x,x^2, \\

\begin{array}{cccccc}x^3&=&&&1+x^2\\x^4&=&x+x^3&=&1+x+x^2\\x^5&=&x+x^2+x^3&=&1+x\\x^6&=&&&x+x^2\\x^7&=&x^2+x^3&=&1\\\end{array}

les seuls "chiffres" qui "apparaissent" sont 0 et 1


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