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factorialité d'un anneau principal
Bonsoir,
concernant la preuve qu'un anneau principal est factoriel, dans l'article de wiki 
, si j'ai bien compris on utilise le lemme de Zorn pour trouver un système de représentants des irréductibles par rapport à la relation d'association,
simplement pour alléger les énoncés, mais il n'est pas nécessaire d'après ce qu'ils disent.
Dans le bouquin d'algèbre de Lang, j'ai l'impression qu'il utilise différemment le lemme de Zorn.
Il raisonne par l'absurde. Il considère S l'ensemble des idéaux principaux non nuls de générateurs n'admettant pas de factorisation en irréductibles, et le suppose non vide.
Ensuite il considère une suite strictement croissante d'éléments de S et montre qu'elle est stationnaire.
Ce qu'il lui permet d'affirmer que S est inductif.
Mais déjà je ne vois pas pourquoi les suites représentent toutes les parties totalement ordonnées de S. 
Merci pour votre aide. 
Salut,
tu prends une partie totalement ordonnée de S, tu peux donc ranger tes éléments dans une suite croissante a1<=a2<=a3<=....
Sinon j'ai pas lu l'article de wiki, mais pour montrer qu'un anneau principal est factoriel on est pas obligé d'utiliser le lemme de Zorn.
Salut Cauchy,
mais alors on a vérifié juste pour les parties totalement ordonnées dénombrables? c'est suffisant pour dire que S est inductif?
Oui j'ai dit n'importe quoi...
Par contre si tu montres que toute suite croissante stationne tu peux en déduire l'existence d'un élément maximal.
Par contraposition si S n'admet pas d'élément maximal, on prend un élément quelconque il n'est pas maximal donc il en existe un plus grand etc... par récurrence tu construis une suite croissante qui stationne pas.
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