Oui, je le sais ça, ma calculatrice m'a donné le résultat de la factorisation, mais je ne vois pas comment on arrive à montrer que :

(X^4 + 2X³ + 5X² + 4X + 4) = (X²+X+2)²

Il est là mon problème. ^^

Merci quand même.

Quelqu'un connait la méthode ?

++

Développes le deuxième membre de l'égalité.

A ma connaissance, il n'y a pas de méthode simple. Le mieux est de constater que l'égalité est vraie, ce qui n'est pas très difficle et peut se deviner.

(à moins que tu saches que si p a une racine double a, alors X-a divise le pgcd de P et P').

Bonjour,
es-tu sûr de ton polynôme
? car



j'ai représenté la fonction P(x) avec Geogebra et il semble qu'il n'y ait que trois racines : celles que tu as trouvées...

Personnellement, je ne trouve pas trop que l'égalité :

(X^4 + 2X³ + 5X² + 4X + 4) = (X²+X+2)²

soit simple.

Vous avez bien utilisé une méthode pour trouver que la factorisation du premier membre donné le deuxième membre non ?

(a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca
Donc, l'égalité se vérifie de tête.

Oui en effet, j'ai fais des erreurs en recopiant Tilk_11.

Ce n'est pas P(X) = (X-1) (X+1)² (X⁴ + 2X³ + 5X³ + 5X² + 4X - 4)

Mais P(X) = (X-1) (X+1)2 (X^4 + 2X³ + 5X² + 4X + 4)

Je sais bien perroquet.

Mais qui te dis que (X^4 + 2X³ + 5X² + 4X + 4) = (X² + AX + B)² ?

Et pas plutôt de la forme (X² + AX + B)(X² + CX + D) ?

donc
(X⁴ + 2X³ + 5X² + 4X + 4) = (X² + X + 2)²
et le polynôme (X² + X + 2) n'a pas de racines réelles

C'est bien ça le problème.
La factorisation d'un polynôme de degré 4 est un problème difficile, (sauf si on sait qu'il y a une factorisation à coefficients entiers ou rationnels).

Donc, si "on ne voit pas que le polynôme est un carré parfait", je n'ai pas de méthode élémentaire à proposer

Oui Tilk_11. ^^

Mais, moi ce que j'aimerais bien comprendre, c'est comment on arrive à savoir que (X⁴ + 2X³ + 5X² + 4X + 4) = (X² + X + 2)² quand on ne sait pas du tout comment factoriser le premier terme.

Il est là tout mon problème.

quand on essaie de factoriser, on essaie de trouver des racines évidentes,
ensuite la 1ère idée qui vient à l'esprit c'est de voir, si par hasard on n'a pas affaire à une identité remarquable connue....
x⁴ = (x²)²
4 = 2²
il y aurait du carré dans l'air...

donc on essaie de trouver le carré d'une somme de 3 termes dont le développement donnera (X⁴ + 2X³ + 5X² + 4X + 4)
c'est à dire on essaie d'écrire (rien ne dit à priori que cela va fonctionner)
(X⁴ + 2X³ + 5X² + 4X + 4) = (x²+ bx +2)²

ensuite on développe le carré et on procède par identification : si on a vu juste on va trouver une valeur pour b, sinon on essaie autre chose....

Oki merci Tilk_11, pour toute ces explications.

Car moi dans mon raisonnement pour essayer de les trouver j'avais essayé aussi de faire par identification, mais en écrivant :

(X^4 + 2X³ + 5X² + 4X + 4) = (X² + AX + B)(X² + CX + D)

Enfin c'est vite devenu compliqué et embrouillant.

Encore merci !