de i=0 à i=n-1
d'où la factorisation

or 1 est racine de la deuxième partie de la factorisation car n=1+1+1+...+1 (n fois)
donc si on divise par (x-1) cette partie on obtient :
donc ton expression est bien factorisable par (x-1)^2

Excuse-moi mais moi j'ai plutôt Xⁿ-1=(X-1)Xⁱ  de i=0 à i=n-1   ou (X-1)X^i-1  de i=1  à i=n.

J'ai donc (j'espère que c'est juste) nXⁿ⁺¹-nXⁿ-Xⁿ+1=(X-1)(nXⁿ-Xⁱ)  de i=0 à i=n-1

C'est pour la deuxième factorisation que je n'ai pas trop compris ce que tu m'as expliqué.

En tout cas je te remercie de ton aide Gentilchasseur.

ta factorisation est bonne... dans le second terme, ty as d'un côté et de l'autre ta somme des de 0 à n-1, donc il y a n termes...
Si tu remplace x par 1 tu auras donc :
donc 1 est de nouveau solutions du second membre.
Fais une divison euclidienne de (qui est très simple pour trouver le résultat annoncé...

pour la seconde partie, méfie toi car comme tu dois le savoir la multiplication des matrices n'est en général pas commutative (ou dans des cas très précis)...
Si tu utilises en général ta variable X, en remplaçant par une matrice acrrée, tu as plus de chances que M*M'soit différent de M'*M...
dans adieu à la commutativité...
De plus les polynômes de matrices s'utilisent, dans certains cas pour touver la matrice inverse...
Prenons un exemple... si tu as M²-3M-I=0 (obtenu à partie de x²-3x+1=0) on a M(M-3)==I donc si M est inversible on aura par multip^lication à gauche par M^-1, M-3=M^-1 donc une définition de M^-1...
Bon courage...