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Factorisation de polynome
Bonjour,
je dois factoriser le polynome P(X)=(1+X)^2n-(1-X)^2n dans C puis en déduire sa décomposition dans R.
J'ai commencé par écrire:
P(X)=((1+X)^n)²-((1-X)^n)²
P(X)=((1+X)^n-(1-X)^n)((1+X)^n+(1-X)^n)
Après je suis bloqué. Je pense que je dois me servir des racines n-ièmes de l'unité mais je ne vois pas comment continuer. Pourriez-vous me donner une indication pour que je puisse continuer svp.
Merci.
Bonjour, Milkyway
Pour factoriser P, détermine les racines de P en résolvant l'équation P(x)=0
Pour résoudre l'équation P(x)=0 , écris-la sous la forme:
Erreur de manipulation de ma part 
Donc écris l'équation P(x)=0 sous la forme
Et il ne faut pas oublier que les solutions de l'équation sont les racines p-ièmes de l'unité.
Alors voila, comme réponse, je trouve que c'est l'ensemble { (exp(ikPi/n)-1)/(exp(ikPi/n)+1) \ k élement de N}. Je trouve cette réponse bizare. Est-ce que c'est juste?
Il faut simplifier l'expression qui a été trouvée:
Ensuite, il faut limiter l'ensemble décrit par k. On peut faire varier k de -n-1 à n-1, ce qui donne 2n-1 racines distinctes. Et comme le polynôme P est de degré 2n-1, on obtient bien toutes les racines de P.
tan^2(k Bonsoir à tous. J'ai le même problème. En posant z= je trouve
z 
{, k
{0,1,...,2n-1} et j'en viens à x {itan(), k
{0,...,2n-1}}. Je ne trouve pas d'erreur dans mon raisonnement mais je trouve que lorsque k = n il y a problème car il va falloir chercher tan( 
/2), Perroquet propose de faire varier k de -n-1 à n-1 j'aimerais s'il vous plait comprendre pourquoi. Enfin la dernière question est de calculer le produit de toutes les racines non nulles, j'aimerai là aussi s'il vous plaît une indication.
Merci d'avance.
Bonjour, comlich
En résolvant l'équation , on s'aperçoit que
ne doit pas être égal à -1 (donc, que k ne doit pas être multiple de n).
Si on fait varier k de 0 à 2n-1, il faut donc exclure la valeur k=n.
Personnellement, j'ai préféré faire varier k de -n-1 à n; il faut exclure la valeur k=n, ce qui fait que k varie de -(n-1) à n-1 (il y avait une petite (?) erreur typographique dans mon post).
L'avantage du choix que j'ai fait se voit quand il faut faire la factorisation du polynôme dans R. Il faut en effet regrouper les racines conjuguées entre elles, et c'est facile parce qu'on voit immédiatement que le conjugué de est
.
On obtiendra donc:
Une indication: pour obtenir le produit demandé, considérer le terme de degré 1. Ce n'est pas obligatoire (un petit peu de trigonométrie suffit).
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