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Factorisation de Polynome

Posté par
Moik 04-11-09 à 22:49

Salut,
je dois factoriser un polynome mais je ne vois pas comment m'y prendre
P=(X+1)10-(X-1)10
Je veux chercher les racines mais je vois pas comment m'y prendre ...

Posté par
LeHiboure : Factorisation de Polynome 04-11-09 à 22:54

Bonjour,

Utilise a²-b² = (a+b)(a-b), avec a = (X+1)5 et B = (X-1)5
Le résultat est d'une simplicité surprenante...

Posté par
Moikre : Factorisation de Polynome 04-11-09 à 23:14

on obtient donc :
P = (2x5+20x3+2)(10x4+20x2+10x)
P = 20x9+240x7+20x6+400x5+220x4+40x2+20x
donc je vois pas comment faire

Posté par
Moikre : Factorisation de Polynome 04-11-09 à 23:25

a moins que 20X (X8+12X6+X5+11X4+2X+1)

Posté par
LeHiboure : Factorisation de Polynome 05-11-09 à 00:15

C'est vrai, le résultat n'est pas aussi simple que ça...
Je dirais plutôt :
4X(5X8+60X6+126X4+60X2+5)
(j'ai triché, j'ai demandé à ma Voyage 200...)
Vérifie ça en reprenant ton calcul.
Pour la suite, 2 remarques :
Le facteur (5X8+60X6+126X4+60X2+5) ne comprend que des puissances de X2, donc en posant X2 = Y,
tu es amené dans une étape intermédiaire à factoriser : (5Y4+60Y3+126Y2+60Y+5)
Dans cette expression, les termes sont symétriques par rapport au centre. On a alors très envie de mettre Y2 en facteur, de façon à faire apparaître des termes en (Y+1/Y) et (Y²+1/Y²) (c'est classique pour ces équations symétriques où toutes les puissances sont paires) :
(5Y4+60Y3+126Y2+60Y+5) = Y2(5Y2+60Y+126+60/Y+5/Y2)
Il faut maintenant factoriser (5Y2+60Y+126+60/Y+5/Y2), qu'on peut encore écrire :
(5(Y2+ 1/Y2)+60(Y+1/Y)+126)
Et la on pose Z = Y+1/Y, donc Z2 = Y2+1/Y2+2
et l'équation devient :
(5(Z2-2)+60Z+126) = 5Z2+60Z+116
Il ne te reste plus qu'à factoriser ce dernier terme et à repasser de Z à Y et de Y à X
Tous calculs à vérifier

Posté par
melynda94000re : Factorisation de Polynome 05-11-09 à 00:40

moi je te propose d'utilisé le binôme de Newton
(x+1)^{10}-(x-1)^{10} = \sum_{k=0}^{10} {{10\choose k} x^{10-k}(1)^k} - \sum_{k=0}^{10} {{10\choose k}x^{10-k}(-1)^k }
ce qui donne
\sum_{k=0}^{10} {{10\choose k} x^{10-k}((1)^k-(-1)^k)}

Posté par
agnesire : Factorisation de Polynome 05-11-09 à 06:30

Bonjour;

(x+1)^^{10}-(x-1)^{10}=((x+1)^5)^2-((x-1)^5)^2

((x+1)^5)^2-((x-1)^5)^2=[(x+1)^5-(x-1)^5][(x+1)^5+(x-1)^5]

=(10x^4+20x^2+2)(2x^5+20x^3+10x)=2(5x^4+10x^2+1)(2x)(x^4+10x^2+5)=4x(5x^4+10x^2+1)(x^4+10x^2+5)

Posté par
LeHiboure : Factorisation de Polynome 05-11-09 à 09:33

Merci agnesi

Moik, à toi de terminer : les deux trinômes sont du second degré en x², et à leur tour ils se factorisent, et certains facteurs se factoriseront encore en facteurs du premier degré...

Posté par
lolo271re : Factorisation de Polynome 05-11-09 à 10:19

Autre méthode : trouve toutes les racines directement en considérant  z = (x+1)/(x-1) .

Posté par
jeansebre : Factorisation de Polynome 05-11-09 à 12:08

Bien vu, lolo! Ca fait faire un "travelling arrière" sur la question.

Posté par
Moikre : Factorisation de Polynome 05-11-09 à 13:00

merci tout le monde. je vais utiliser la solution d'agnesi qui me paraît la plus simple ^^


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