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Factorisation polynôme degré 4

Posté par Signum (invité) 23-10-07 à 11:52

Bonjour,

Alors voila, je dois factoriser le polynôme suivant :

x^4+2x^3+2x^2+2x+1

La méthode que j'ai utilisée est de voir que -1 est une racine et d'effectuer une division
polynomiale par (x+1). Mais je trouve que cette méthode est un peu "question de chance". Existe-t-il
une méthode formelle pour factoriser ou déterminer les racines d'un polynome d'ordre n ?

Merci d'avance.

Posté par
cailloux Correcteurre : Factorisation polynôme degré 4 23-10-07 à 11:56

Bonjour,

C' est faisable jusqu' au degré 4 dans le cas général (méthode de Cardan pour le degré 3 et de Ferrari pour le degré 4). Il est prouvé que c' est impossible algébriquement pour des degrés supérieurs.

Posté par Signum (invité)re : Factorisation polynôme degré 4 23-10-07 à 11:58

Merci pour ta réponse rapide !

Mais dans le cas énoncé ci-dessus, y a-t-il d'autres méthodes pour factoriser ce polynôme ?

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : Factorisation polynôme degré 4 23-10-07 à 12:03

Pour le degré 4: voir ces 2 liens:

Méthode de Ferrari : polynome quatriéme degrés

Méthode de Descartes :

A partir du degré 6, il n'y a pas de méthode universelle possible.

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : Factorisation polynôme degré 4 23-10-07 à 12:03

J'ai voulu écrire:

A partir du degré 5, il n'y a pas de méthode universelle possible.

Posté par
cailloux Correcteurre : Factorisation polynôme degré 4 23-10-07 à 12:06

C' est une équation symétrique:

tu peux poser X=x+\frac{1}{x}

(E) \Longleftrightarrow x^2[x^2+\frac{1}{x^2}+2(x+\frac{1}{x})+2]=0\Longleftrightarrow x^2+\frac{1}{x^2}+2(x+\frac{1}{x})+2=0 car 0 n' est pas solution.

Soit: X^2-2+2X+2=0 ou X(X+2)=0

En fait, ton polynome se factorise en (x^2+1)(x+1)^2

Posté par
littleguyre : Factorisation polynôme degré 4 23-10-07 à 14:05

Bonjour

sur CE polynôme, avec des connaissances de collège, un "bon coup d'oeil" suffit :

x^4+2x^3+2x^2+2x+1 = (x^4+2x^2+1) + (2x^3+2x)

x^4+2x^3+2x^2+2x+1 = (x^2+1)^2 + 2x(x^2+1)

x^4+2x^3+2x^2+2x+1 = (x^2+1)[(x^2+1) + 2x]

x^4+2x^3+2x^2+2x+1 = (x^2+1)(x+1)^2

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : Factorisation polynôme degré 4 23-10-07 à 15:15

Oui, sur CE polynôme c'est facile.

Mais la question était plus générale me semble-t-il.

Citation :
Existe-t-il
une méthode formelle pour factoriser ou déterminer les racines d'un polynome d'ordre n ?


Il existe évidemment des cas particuliers:
Racine(s) évidente(s), coefficients palyndromes, équations bicarrées ...

Posté par
littleguyre : Factorisation polynôme degré 4 23-10-07 à 15:21

oui, J-P ; je répondais simplement à cette question du 23/10 à 11:58 :

Citation :
Mais dans le cas énoncé ci-dessus, y a-t-il d'autres méthodes pour factoriser ce polynôme ?


Posté par Signum (invité)re : Factorisation polynôme degré 4 23-10-07 à 15:24

Citation :
sur CE polynôme, avec des connaissances de collège, un "bon coup d'oeil" suffit :


Oui c'est bien ce que je voulais dire, le coup d'oeil on l'a ou pas, question de "chance" (et d'entrainement)

Merci à tous pour vos réponses !


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