Comment factoriser m^6 + m^3.n^3 + n^6

j'ai essayer de la factoriser en C (complexe) et ensuite utiliser la trigonométrie.
Mais en fait, le i me pose problème...
Est ce qu'un courageux parmi vous, veut bien résoudre avec moi ce problème...??
Merci pour votre coopération...

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Edit jamo : le MULTI-POST est interdit sur ce forum. (voir : [lien] )

Bonsoir,
Divise tout par m³n³
m³/n³ + 1 + n³/m³
Pose m³/n³ = k :
k + 1 + 1/k
(k²+k+1)/k
Factorise (k²+k+1) sur , divise le résultat par k
Le résultat doit être de la forme (k-a)(k-a')/k, a et a' complexes conjugés
Remplace k par m³/n³
(m³/n³ - a)(m³/n³ - a')/(m³/n³)
(m³ - an³)(m³ - a'n³)(1/n⁶)(n³/m³)
(m³ - an³)(m³ - a'n³)/(m³n³)
(1/n³ - a/m³)(1/n³ - a'/m³)
A supposer que ce soit juste, je ne sais pas si c'est une forme intéressante pour toi.
Note que tu peux aller encore plus loin en utilisant (A³ - B³) = (A - B)(A² + AB + B²) et en factorisant (A² + AB + B²) sur .

bonjour

Je sais factoriser x²+bx+b² :

avec b réel :

deiscriminant : -3b²
racines : et

donc :



c'est déjà ça.

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Bonjour



Sauf erreur.

*** message déplacé ***

Bonjour


On a x⁹ - 1 = (x³ - 1)(x⁶ + x³ + 1)
Donc les racines de P(x) = x⁶ + x³ + 1 sont des racines neuvièmes de l'unité.
En fait, ce sont les racines primitives neuvièmes, car les trois autres sont les racines de x³ - 1.
Ces racines primitives sont ₁ = e^2i/9, ₂ = e^4i/9, ₄ = e^8i/9, ₅ = e^10i/9, ₇ = e^14i/9 et ₈ = e^16i/9.

On a donc P(x) = (x - ₁)(x - ₂)(x - ₄)(x - ₅)(x - ₇)(x - ₈)
Et donc
m⁶ + m³n³ + n⁶ = (m - n₁)(m - n₂)(m - n₄)(m - n₅)(m - n₇)(m - n₈)

C'est la factorisation dans .

Si on veut une factorisation dans , il suffit de regrouper les facteurs conjugués 1 et 8, 2 et 7, 4 et 5 :
P(x) = (x² - 2cos(2/9) + 1)(x² - 2cos(4/9) + 1)(x² - 2cos(8/9) + 1)

D'où
m⁶ + m³n³ + n⁶ = (m² - 2mncos(2/9) + n²)(m² - 2mncos(4/9) + n²)(m² - 2mncos(8/9) + n²)

Sur , P(x) est irréductible (c'est le polynôme cyclotomique d'ordre 9)

Cordialement
Frenicle

*** message déplacé ***

Merci infiniment à vous tous..
c'est le i qui me posait problème dans la factorisation... Je savais qu'on pouvait factoriser dans R en passant par C, mais il y a plusieurs formules qui m'échappent...
La dernière réponse postée par Mr ""frenicle"" est celle que j'attendais, Enfiiin, c'est une solution dans R, où il n'y a aucun i. Je vous remercie Mr "frenicle"
J'essayerai de suivre toutes les étapes afin de pouvoir comprendre vos démarches. Merci encore une fois.

Je t'en prie (et pas la peine d'ajouter Mr devant mon pseudo, ça m'intimide )

Oui,j'ai appris quelque chose, là.

Alors, moi aussi je dis merci à Mr Frenicle!