et de rang R (donc R valeurs propres, R vecteurs propres...)  >>> Le rang n'as absoluement rien à voir avec le nombre de vecteurs propre et de valeurs propre !


B = VV*

avec donc B, la matrice originale F x F et V la matrice RECTANGULAIRE de dimensions FxR. >>> surement pas, sinon B serait une matrice F*R...



ce qui est vrai, c'est que si ta matrice B est diagonalisable, alors il existe une matrice V dont les colones sont les vecteur propres, telle que B=VDV^(-1) avec D une matrice diagonal (contenant les valeurs propres...)

euh... Bonjour !
(j'ai cliqué trop vite ^^ )

Bonjour ksilver,

Je ne suis pas vraiment d'accord avec toi:

">>> surement pas, sinon B serait une matrice F*R..."

  B    =   V      V*
F x F  = F x R  R x F

Ce cas existe je ne vois pas ou est le probleme.

"
et de rang R (donc R valeurs propres, R vecteurs propres...)  >>> Le rang n'as absoluement rien à voir avec le nombre de vecteurs propre et de valeurs propre !"
La je me rectifie, mais je ne suis pas entierement d'accord avec toi, le fait que le rang soit inferieur à la dimension de la matrice carree d'origine entraine que: il y a un/des valeur(s) propre(s) nulle(s), donc R valeurs propres non nulles. le determinant est nul, mais il est bien possible de trouver N vecteurs propres. (N etant la dimension)


EN tous cas merci d'avoir pris la peine de repondre.... De mon coté je n'ai toujours pas toruve la solution

! )

Sb.

"mais il est bien possible de trouver N vecteurs propres. (N etant la dimension)" >>> Si on n'est pas sur un corps algébriquement clos, il peut n'y avoir aucun vecteur propre quelque soit la dimension (par exemple : une rotation de centre 0 dans R^2, est lineaire et n'as pas de vecteur propres)
et meme si le corps est algébriquement clos, dire qu'on à N Vecteur propre linéairement independant c'est équivalent à dire que la matrice est diagonalisable, ce qui heuresement n'est pas toujour le cas (une matrice nilpotente par exemple : si elle elle avait n vecteur propre elle serait nul ) !

pour le fait que le rang correspond aux nombre de valeurs propre non nul, c'est vrai seulement si l'on compte les valeurs propres avec la "bonne" (=dimension des espaces caractéristiques) notion de multiplicité (sachant qu'il y a plusieur notion de multiplicité)

Je ne suis pas vraiment d'accord avec toi:>>> euh oui tu as raison, j'ai parlé trop vite. le problème si B=VV* c'est d'une part que B serait auto-adjointe : B*=(VV*)* =(V**)V*=VV*=B et si je ne m'abuse à valeur propres réel positive (si on est sur R ou sur C...)