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Famille de polynômes
Bonjour,
Je souhaite savoir si la famille (1-X², X²-X, X3-X²) est libre et génératrice de K3[X].
J'ai vu que K3[X] est la famille des polynômes P tels que deg P 
3 et je sais que pour vérifier si une famille est libre il faut supposer, dans notre cas,
que 
(1-X², X²-X, X3-X²)=0
<=> -X²=0
(X²-X)=0
(X3-X²)=0
<=> =0 (si on divise par exemple dans la dernière ligne par X3-X
donc c'est libre... par contre pour génératrice, je sais que quand on a des équations il faut mettre des éléments en facteur mais en faisant ca je trouverais une famille génératrice de ma famille et je ne saurais toujours pas si ma famille est génératrice de K3[X]...
comment faire ?
Merci d'avance
Bonjour,
Bon alors d'abord, ta définition de la famille libre,....... Il faut absolument la revoir.
Ensuite c'est une famille libre à 3 vecteurs, l'espace étant de dimension 4, il est impossible qu'elle soit génératrice. Par exemple, il est impossible d'obtenir le polynôme X3
ok merci 
(par contre quels outils utiliser pour trouver une famille génératrice si le problème que vous avez souligné n'est pas présent)
et bien admettons que je cherche une famille génératrice de (1-X²,X²-X,X3-X²), je dois écrire :
(1-X²,X²-X,X3-X²)= X0(1,0,0)+X(0,-1,0)+X²(-1,1,-1)+X3(0,0,1) donc la famille génératrice serait : ((1,0,0),(0,-1,0),(-1,1,-1),(0,0,1)) non ?
Ce n'est pas très clair ce que tu écris... C'est quoi une famille génératrice de : (1-X²,X²-X,X3-X²)???
euh (je vais tenter d'écrire ce que je comprends mais en français, merci de souligner mes erreurs pour que je comprenne )
c'est l'ensemble des vecteurs dont on a besoin pour créer la famille.
dans mon cas les 4 vecteurs peuvent être multipliés par des coefficients différents pour que j'obtienne la famille (1-X²,X²-X,X3-X²).
En gros, d'après ce que j'ai compris, j'obtiens tout un ensemble en changeant les coefficients... mais j'avoue ne pas savoir où classer (1-X²,X²-X,X3-X²)
Non, pas du tout. Ce qu'on appelle: "famille génératrice", c'est une liste de vecteurs à partir desquels on va pouvoir engendrer tout l'espace. Exemple:
(1,X,X²) est une famille génératrice de 
2[X].
En effet:
Soit P(X)
2[X], alors on peut l'écrire:
+
X+
X² avec ,, réels, donc : (1,X,X²) est une famille génératrice de 2[X].
C'est plus clair?
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