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famille de polynômes étagées en degré
Bonjour tout le monde,
une petite question que je me pose...
pourquoi dit-on que "toute famille de polynômes étagées en degré est libre"?
j'ai essayé de revenir à la définition d'une famille libre,mais je ne parviens à rien, j'ai donc tenté de le faire à l'envers:
J'ai considéré une famille et je suppose qu'elle est lié:
il existe donc des scalaires non nuls tel que:
si je considère j'obtiens que comme
;
ce qui contredirait le fait que
est-ce bien correct tout ça?
cela dit tu ne démontres pas ce qu'il faut, c'est une famille de polynômes pas nécessairement de monômes.
ah bah oui, mais pourtant c'est ce que j'ai trouvé dans le sens direct...mais j'étais pas convaincu...j'ai buggué là!
Merci infophile!
cela dit tu ne démontres pas ce qu'il faut, c'est une famille de polynômes pas nécessairement de monômes.
oui,mais un polynôme ce n'est qu'une combi-linéaire de monôme...on doit bien pouvoir s'en tirer non?
Bonjour Robby
En partant de ton identité de départ 
ai Pi(X) = 0(sans supposer le ai non nuls), et les Pi chacun de degré n, tu as le polynome nul. Tu peux donc dériver n fois ce polynôme nul, et démontrer que le coefficient de la combinaison linéaire an = 0 . Tu te retrouves avec une identité de degré n-1 ...que tu dérives n-1 fois. Etc...
Non?
Autre méthode: tu écris tes polynômes Pi dans la base canonique de Rn[X], en commençant par le polynôme de degré 0. Tu obtiens une matrice forcément triangulaire (inférieure) dont le déterminant est le produit des éléments diagonaux, qui sont les coefficients dominants des polynômes Pi donc non nuls (pour qu'ils puissent être étagés). Du coup, le d&terminant est non nul, et le système est libre.
Salut Kevin 
Où en êtes vous, tous les deux (je ne viens pas beaucoup sur le forum...) si ce n'est pas indiscret...
Autre méthode: tu écris tes polynômes Pi dans la base canonique de Rn[X], en commençant par le polynôme de degré 0. Tu obtiens une matrice forcément triangulaire (inférieure) dont le déterminant est le produit des éléments diagonaux, qui sont les coefficients dominants des polynômes Pi donc non nuls (pour qu'ils puissent être étagés). Du coup, le d&terminant est non nul, et le système est libre.
effectivement, c'est une bonne idée!
Où en êtes vous, tous les deux (je ne viens pas beaucoup sur le forum...) si ce n'est pas indiscret...
pour ma part, je vais préparer(/galérer) le capes une 2eme fois cette année, en espérant vivement que ce soit la bonne.
j'ai échoué aux écrits l'année dernière.
Bref, rien de bien brillant.
Bonne fin de week-end Jeanseb.
En fait, c'est plutôt une triangulaire supérieure...
oui,au pire,je transpose, le déterminant ne change pas.
Bref, rien de bien brillant
Ne te déprécie pas! J'ai mis trois ans pour avoir ma 3ème année de licence, alors... Chacun a son propre rythme pour que les choses se mettent en place.
Bonjour jeanseb
Désolé du retard ! On peut aussi le faire par récurrence sur le nombre d'éléments de la famille (P_i) où chaque P_i est de degré i (famille de degrés échelonnés).
Hypothèse de récurrence : (P0,...,Pn) libre.
On considère la relation Sum(k=0..n+1) a_k.Pk = 0 <=> Pn+1 = -1/(a_(n+1))* Sum(k=0..n) a_k.Pk
absurde puisque de degré différent, donc a_(n+1) = 0, et en utilisant l'hypothèse de récurrence tous les a_k sont nuls, et ainsi la famille (P0,...,P_(n+1)) est libre.
Et comme il y a n+2 éléments c'est même une base de R_(n+1)[X].
Où en êtes vous, tous les deux (je ne viens pas beaucoup sur le forum...) si ce n'est pas indiscret...
5/2 pour moi, et je suis dans une grosse période d'hésitation : prof ou ingénieur...
Kéké >> Le plus important c'est de tout déboiter mais je te fais confiance pour ça. Après, il parait que ça fait très plaisir d'avoir le choix entre Mines de Paris, ECP, X et Ulm... donc ça va plutôt être très conviviale que de choisir entre prof et ingénieur. (Je profite de l'occas pour faire un peu de pub pour Ulm. Quand on y sort, ceux qui le souhaitent peuvent (mais c'est plus difficilé qu'en sortant de l'X c'est sûr!) intégrer les grands corps de l'état; donc en fait tu peux retarder encore ta décision en optant pour Ulm ou n'importe quelle ens d'ailleurs. 
)
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