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famille de vecteurs libres

Posté par
mathetudes 23-01-10 à 15:38

Salut tout le monde

Il s'agit d'un exercice d'espace vectoriel

Soit E un espace vectoriel (x1............xn) une famille libre de vecteurs de E et a1......an des scalires. On pose


y=somme de (ai xi) avec i allant de 1 jusqu'a n  et x'j=xj+y  Etudier à quelle condition la famille (x'1........x'n) est libre


Merci d'avance

Posté par
mathetudesre : famille de vecteurs libres 23-01-10 à 15:39

J'ai besoin d'une indication

Merci

Posté par
Camélia Correcteurre : famille de vecteurs libres 23-01-10 à 15:40

Bonjour

Comme d'habitude! Suppose que \sum_{i=1}^n\lambda_ix'_i=0 développe en x_i et regarde!

Posté par
mathetudesre : famille de vecteurs libres 23-01-10 à 16:25

je trouve la résultat ;pouvez vous m'aider?

Posté par
mathetudesre : famille de vecteurs libres 23-01-10 à 16:25

je trouve pas la résultat ;pouvez vous m'aider?

Posté par
Camélia Correcteurre : famille de vecteurs libres 23-01-10 à 16:36

\bigsum_{i=1}^n\lambda_ix'_i=\bigsum_{i=1}^n(\lambda_1a_1+...\lambda_i(1+a_i)+...+\lambda_n)x_i

Comme les x_i sont linéairement indépendants ceci entraine

\lambda_1a_1+...+\lambda_i(1+a_i)+\lambda_na_n=0 pour 1\leq i\leq n

Quelle est la condition pour que ceci entraine \lambda_i=0 pour 1\leq i\leq n?

Posté par
mathetudesre : famille de vecteurs libres 23-01-10 à 16:45

il faut que les ai soient différents de 0?

Posté par
Camélia Correcteurre : famille de vecteurs libres 23-01-10 à 16:48

Non, ce n'est pas aussi simple...

Ecris pour n=3!

Posté par
mathetudesre : famille de vecteurs libres 23-01-10 à 16:49

Comme les x_i sont linéairement indépendants ceci entraine que chaque terme  lamda i ai =O  n'est ce pas ?

Posté par
mathetudesre : famille de vecteurs libres 23-01-10 à 16:51

ai différent de  -1

Posté par
Camélia Correcteurre : famille de vecteurs libres 23-01-10 à 17:02

Pas vraiment!

Il y a un déterminant dans l'histoire...

Posté par
mathetudesre : famille de vecteurs libres 23-01-10 à 17:08

Quelle est la solution svp?

Posté par
Camélia Correcteurre : famille de vecteurs libres 23-01-10 à 17:15

Il faut que le système (en \lambda_i) soit de Cramer, donc que son déterminant soit non nul. Je crois bien que la condition est a_1+...a_n+1\neq 0 mais vérifie les calculs.

Posté par
mathetudesre : famille de vecteurs libres 23-01-10 à 17:23

Merci pour cous

Mais 'Camélia'  on n'a pas encore appris à faire le déterminant de n vecteurs

Posté par
mathetudesre : famille de vecteurs libres 23-01-10 à 17:25


Merci pour vous

Mais 'Camélia'  on n'a pas encore appris à faire le déterminant de n vecteurs

Posté par
mathetudesre : famille de vecteurs libres 23-01-10 à 17:26

y a t-il une autre explication?

Posté par
Camélia Correcteurre : famille de vecteurs libres 24-01-10 à 14:54

Si a_1+...a_n+1=0 on a a_1x'_1+...+a_nx'_n=y+(a_1+...+a_n)y=0 donc dans ce cas ils ne sont pas linéairement indépendants. Je vois mal comment faire la réciproque sans déterminant!


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