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Famille libre

Posté par
gui_tou 25-10-08 à 11:31

Bonjour,

Je sèche un peu pour un exo d'oral :

Citation :
Soient 3$n réels 3$a_1,...,a_n ; pour tout naturel 3$k (entre 1 et 3$n) on pose 3$f_k(x)={4$\fr{1}{x^2+a_k^2
Cette famille est-elle libre dans 3$\mathcal{F}({\bb R},{\bb R}) ?


Soit 3$(\lambda_1,...,\lambda_n)\in{\bb R}^n tel que pour tout 3$x\in{\bb R},\;\lambda_1f_1(x)+\lambda_2f_2(x)+...+\lambda_nf_n(x)=0. Montrons que 3$(\lambda_1,...,\lambda_n)=(0,...,0)

Pour voir ce qu'il se passe, j'ai testé pour n=2. En réduisant au même dénominateur, j'arrive au système 3$\{\lambda_1+\lambda_2=0\\\lambda_1(a_2^2-a_1^2)=0

Je conjecture que :

si les réels 3$a_1,...,a_n sont de carrés deux à deux distincts, notre famille 3$(f_k)_{1\le k\le n} est libre.

Quant au cas général, je ne vois rien d'autre qu'une réduction au même dénominateur ... c'est très moche.

¤ Y a-t-il une condition nécessaire ?

¤ Y a-t-il un moyen plus élégant que de réduire au même dénominateur, pour le cas général ?

Merci

Posté par
pythamedere : Famille libre 25-10-08 à 11:51

As-tu essayé par récurrence ?

Posté par
gui_toure : Famille libre 25-10-08 à 11:57

bonjour

euh non, mais pour utiliser l'hypothèse de récurrence il faudrait mettre au même dénominateur ... je me demande s'il n'y a pas plus simple.

merci.

Posté par
pythamedere : Famille libre 25-10-08 à 12:17

Certes ! Mais les calculs sont sûrement plus simples quand même lorsque l'on ajoute 1 terme que lorsque l'on prend tous les termes d'un seul coup.

De toutes manières, je n'ai pas d'autre idée ; je ne vois pas comment éviter une réduction au même dénominateur ! Désolé !

Peut-être quelqu'un d'autre aura une nouvelle idée puissante !

Bon courage !

Posté par
1 Schumi 1re : Famille libre 25-10-08 à 12:51

Salut

Euh c'est pas immédiat que la famille est libre? L'unicité de la décomposition en éléments simple sur R(X) ne permet-elle pas de conclure directement?

Posté par
pythamedere : Famille libre 25-10-08 à 12:54

Si ! Tu as raison !

Posté par
lolo217re : Famille libre 25-10-08 à 13:31

Oui l'unicité est sans doute la meilleure méthode.
Si on veut faire sans , on peut procéder ainsi :

Supposons une relation minimale non triviale entre tes fonctions : ça veut dire que tu as une relation où AUCUN des  lamda_i  n'est nul .
Alors tu multiplie par  (X- ia_i)   et tu évalues ta relation sur le nombre complexe  ia_i  ce qui te donnes un coefficient nul et donc la contradiction.

Posté par
gui_toure : Famille libre 25-10-08 à 14:34

Salut Ayoub et lolo217

Ah vi, tout simplement


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