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Famille Libre
Bonjour, j'ai du mal avec les familles libres et je n'arrive pas à montrer qu'une famille est libre :
Soit p le plus petit entier tel que fp = 0 et fp-1 
0.
Pour x0 
E tel que fp-1 ( x0 ) = 0E, montrer que la famille ( x0, f(x0, ... , fp-1(0)) est libre.
Je sais que pour montrer qu'une famille est libre il faut montrer que tout les coefficients de la famille sont égaux à 0...
Bonjour,
Tu es sur de ce que tu viens d'écrire ?
Ce ne serait pas plutôt : Soit et montrer que la famille
est libre ?
Si excuse moi, je me suis trompé et c'est bien fp-1(x0) 0 Comme je l'avais écrit plus haut.
Et pour la famille j'ai effectivement oublié de fermé la parenthèse ^^' Je fatigue
Bonjour rhomari,
Dans ce cas, et comme tu as essayé de l'exprimer, montrons que si (a0,a1,...,a(p-1)) est une famille de scalaire telle que a0x0+a1f(x0)+...+ap-1fp-1(x0)=0 alors (a0,a1,...,a(p-1))=(0,...,0).
Si tu regardes bien, tu ne possedes pas beaucoup d'information dans tout ca.
Deux informations sont essentielles:
¤ f est linéaire et
¤ fp(x)=0 pour tout x dans E.
Donc supposons qu'il existe (a0,a1,...,a(p-1)) tel que a0x0+a1f(x0)+...+ap-1fp-1(x0)=0.
Regarde ce que tu peux faire pour tuer les coefficients un par un.
Si je continue ton raisonnement je peux donc écrire la famille comme celà :
a0x0 + f(a1x0)+ ... + fp-1(ap-1x0) = 0 car f linéaire
Mais comment tu arrives à supprimer les coefficients un par un par la suite ? :x
Effectivement, c'est pas précisé... je suis allé un peu vite.
Ceci dit, vu l'énoncé et le cadre dans lequel il se place, on a de grande chance pour que ca soit le cas.
Donc f est elle bien linéaire ?
Pour être juste, l'énoncé était un peu plus long et comporte " Soit E un espace vectoriel et soit f est un endormorphisme nilpotent ( cad que pour tout k
1 on a fk = 0. Donc f est nécessairement linéraire 
Bon voilà qui est mieux et rassurant pour tous
Il y a une information que tu n'as pas utilisée. Vois-tu comment la faire intervenir ?
Par contre NostalGeek, f est un endomorphisme nilpotent signifie plutôt qu'il existe un entier naturel p non nul tel fp soit l'application linéaire nulle et fp-1 ne le soit pas.
Ca n'a pas grand chose à voir avec " k1 on fk=0"
si le cas est tel alors a0=0 sinin on peux ecrire x0 comme f(d) ou d combinaison idoine des autres donc fp-1 =0 ce qui contredit les données......
Hum ... je ne suis pas sûre mais si j'écris
a0x0+f(a1x0)+...+fp(ap-1x0) . f-1(ap-1.x0) = 0
J'ai donc f-1(ap-1.x0) = 0
Et comme f-1 + f1 s'annulle, ile me reste que a0x0.
qu est ce que tu dit ...!!! re: f est lin
si le cas est tel alors a0=0 sinin on peux ecrire x0 comme f(d) ou d combinaison idoine des autres donc fp-1 =0 ce qui contredit les données......
Qu est ce que tu dit ...!!! re: f est lin
si le cas est tel alors a0=0 sinon on peux ecrire x0 comme f(d) ou d combinaison idoine des autres donc fp-1 =0 ce qui contredit les données......
Il y a, à la base, un gros soucis.
Tu parles de f^{-1} qui désigne habituellement l'inverse de l'application linéaire f. Seulement, tu ne sais pas vraiment si f est une a.l inversible, et donc tu n'as pas forcement le droit de parler de f^{-1} comme ca. ( D'ailleurs tout endomorphisme nilpotent est non inversible )
Tu peux essayer " d'appliquer f " à l'équation : a0x0+a1f(x0)+...+ap-1fp-1(x0) = 0.
Qu'observes-tu ?
=) Et tu peux faire ça et arriver à 0 grâce à la deuxième condition.
Merci je m'en vais me coucher, bonne nuit
En itérant assez de fois, on arrive à tuer a0, puis on recommence, on tue a1, et a2 et ...
Je te laisse l'écrire.
A la fin, tous les scalaires sont nuls et donc la famille est libre
Bonne nuit.
a 0 or f p-1 (x 0)
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