Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Famille libre et fonctions polynômiales .
Bonsoir tout le monde . J'ai encore du mal avec un exo d'algèbre :
Etudier la liberté de la famille de fonctions polynomiales réelles définies telles que
x
, (x)=
Bon courage !
Re-bonsoir
Prends une combinaison linéaire nulle de ces polynômes (coefficient ak pour Pk)
divise tout par x... et applique en x=0...a1 est donc nul
remplace et maintenant recommence en divisant par x2...
etc
(récurrence sur k)
Autrement ca se fait tres clairement par recurrence sur n: tu l'admet à l'ordre n
Si à l'ordre n+1 
k<0, n+1>
kxk(1-x)n+1-k = 0, cela revient à écrire (1-x)k<1,n>kxk(1-x)n-k + n+1xn+1 = 0
Donc de deux choses l'une: si n+1est nul, on retombe à l"ordre n. Sinon, vu que Xn+1 et 1-x sont premiers, xn+1 divise la somme à l'ordre n, ce qui, au vu des degrés de chacun des polynôme, signifie que la somme à l'ordre n est nulle.
Je te laisse conclure ...
Bonjour!
On peut aussi invoquer le résultat plus général:
Une famille de polynômes de valuations toutes différentes est libre.
oui, c'est vrai Rogerd, mais comme je ne savais pas si notre ami connaissait ce résultat, je lui ai tout simplement indiqué la démonstration du théorème que tu invoques.
MM
Sinon, juste une petite remarque sur la démonstration d'Amauryxiv : la somme qui est à gauche commence à k=1 et non k=0 (erreur de frappe car le membre de droite est bon) et il faut préciser que Xn+1 et (1-X) sont premiers entre eux (car Xn+1 n'est pas premier).
Sinon, elle est bien aussi.
MM
Je n'ai donné que les grandes lignes. Mais si l'on veut expliquer que les deux polynomes sont premier entre, il suffit de voir ce qui est trivial, à savoir qu'ils n'ont aucune racine commune. Voils pour le detail ...
OUPS ! Bonsoir mais je me demandais MatheuxMatou , dans ta méthode on divise par x alors qu'on ne sait pas s'il est nul , tu crois que ta méthode peut toujours être correcte ?
Tu ne manipules pas des réels mais des polynomes. Et X est un polynôme non nul. Il en va de m^me pour le fait que X-1 et Xn+1 sont premiers entre eux.
D'accord mais alors je ne vois pas ce que l'on obtient si n'est pas nul , doit-on trouver une absurdité ? (car on veut montrer que tous les coeff sont nuls )
ben oui on arrive à une absurdité:
le terme de puissance n+1 divise le reste mais est premier avec X-1. Donc, c'est de l'arithmetique, il divise la somme à l'ordre n, ce qui n'est possible que si la somme d'ordre n est nulle: c'est comme si on avait 5 qui divise x avec x < 5. Donc la somme à l'ordre n est nulle et donc n+1Xn+1 = 0. D'ou n+1 = 0, ce qui est contraire à l'hyppothese de départ: c'est absurde.
Oui... et pour ce qui est de la remarque concernant la division par X, il s'agit du polynôme X (qui n'est pas le polynôme nul) et non d'un réel comme lorsqu'on résout une équation. cela rejoint une précision d'amauryvix concernant sa démonstration.
MM
Bonjour everyone 
! Désolé de revenir sur un sujet clos mais j'aimerai utiliser un autre argument que les polynômes premiers entre eux . Est-ce que quelqu'un peut m'aider ?
Je suis sûr que tu me parles de la tienne MM mais pourrais-tu m'aider pour la proposition de récurrence qui y correspond ? Ou bien faut-il seulement expliquer sans proposition ?
Annuler
connectez vous
algèbre en post-bac