Bonjour

Tu pouvais affirmer d'entrée de jeux qu'une famille de 4 vecteurs dans un espace de dimension 3 est génératrice et liée. La dimension du sous-espace engendré est égale au nombre maximum de vecteurs linéairement indépendants de la famille. Si c'est vrai que tu en as trouvé 3, c'est OK.

Ok merci bien Camélia. Donc la famille est liée et génératrice. Et à la question : Si oui en extraire au moins une base de l'espace. Je réponds que que v1,v3,v4 constitue une famille libre de 3 vecteurs et dans un ev de dimension 3 une famille de 3 vecteurs est génératrice. Les vecteurs v1,v3,v4 forment donc une base de l'espace.

C'est bien cela ?

Bijour tout le monde,

"Tu pouvais affirmer d'entrée de jeux qu'une famille de 4 vecteurs dans un espace de dimension 3 est génératrice et liée."
N'y a-t-il pas un souci dans cette assertion..?

Sinon, Joffrey, effectivement il suffit d'extraire 3 vecteurs libres de ta famille pour obtenir une base, ce que tu as très bien fait.

Ok merci. Mais je pensais mettre aussi : une famille de 4 vecteurs dans un espace de dimension 3 est génératrice et liée. C'est juste ou pas ?

Bonsoir
c'est juste à partir du moment où tu as vu que 3 de ces vecteurs sont linéairement indépendants....

ou alors en considérant qu'elle est génératrice d'un sous-espace de dimension égale au nombre maximum de vecteurs linéairement indépendants de la famille.

Avec les précisions données par lafol, ok, mais dans le cas général c'est faux... Avoir n+1 vecteurs dans un espace de dimension n n'est pas suffisant pour avoir une famille génératrice (ce serait trop simple).

Je pense que dans l'idée de Camélia, il y avait la restriction : la famille est génératrice, mais pas forcément de l'espace tout entier... vu la suite de sa phrase, que je n'ai fait que recopier

Oui oui, je n'accuse évidemment pas Camélia de raconter des bêtises sur des notions de niveau L1, ne t'inquiète pas D'ailleurs, je me verrais mal sous-entendre qu'elle puisse dire une bêtise - tout court.
J'ai juste tenu à faire une petite précision pour ne pas que notre ami Joffrey se fasse de mauvaises idées

Ok merci bien. Donc après avoir montré qu'ils étaient indépendants je peux dire qu'une famille de 4 vecteurs dans un espace de dimension 3 est génératrice et liée. Merci.

une famille de 4 vecteurs dont trois indépendants, dans un espace de dimension 3, est génératrice et liée, oui.

Merci.

Si, si, j'ai dit des bêtises! une famille de 4 vecteurs est forcémént liée, mais bien sur pas forcément génératrice! Comme ici c'était clair qu'il y avait 3 vecteurs libres, j'ai écrit un peu vite!

Ce n'est pas grave Camélia.