Bonjour
le déterminant ne marche que si le nombre de vecteurs est égal à la dimension de l'espace (et au passage qu'en dimension finie ...)

salut,personnellement pour montrer qu'une famille de vecteurs est libre ds l'espace vectoriel j'utilise plusieurs methodes,selon l'exo.donc tu dois devener la methode.

lafol , le nombre de vecteurs de l'espace de départ définit forcément sa dimension , donc tu parles de quel espace ?

si tu as une famille de 4 vecteurs dans un espace de dimension 5, tu ne pourras pas calculer de déterminant ...

c'est assez flou , je vais surement dire une annerie mais donc le calcul de déterminant ne marche que pour un endomorphisme ?

tu parles de familles de vecteurs ou d'applications linéaires

s'il s'agit de familles de vecteurs, on ne peut calculer que des déterminants de familles de n vecteurs si on est en dimension n

s'il s'agit d'applications linéaires, elles n'ont un déterminant que si les dimensions des espaces d'arrivée et de départ sont égales. (pas forcément le même espace, mais la même dimension)

ben je croyais que famille de vecteurs et applications linéaires c'etait lié car j'ai jamais vu d'exercice où on a une famille de vecteurs et où l'on demande de calculer le déterminant , je vois pas l'intérêt...

donc pour les applications linéaires c'est quand il y a endomorphisme vu que ce sont 2 espaces de meme dimension ?

à moins que endomorphisme c'est 2 espaces semblables mais pour moi il sont semblables si seulement ils  ont meme dimension

Deux espaces peuvent avoir la même dimension sans être identiques : exemple IR^4 et l'ensemble des matrices 2x2 .... !

et comparer :

lafol je dois avoir une énorme lacune mais quand tu dis IR^4 , tu considères un espace vectoriel de dimension 4 , donc qui a une base formée de 4 vecteurs .

une matrice 2*2 c'est seulement 2 vecteurs dont un espace de dimension 2 , non ?

une matrice 2*2, c'est , donc 4 coefficients à choisir, tout comme pour (a,b,c,d) de IR^4

je sais très bien que tu es infiniment plus forte que moi mais moi quand je lis cette matrice je vois 2 vecteurs , c'est une dimension 2 c'est noté purement et simplement dans mon cours j'ai dû louper une épisode ...

def d'une matrice:
une matrice A à n lignes et p colonnes à coeff. dans K est une application:
A:[1..n]x[1..p]->K
à (i,j) on associe aij
on sais que dim([1..n]x[1..p])=np
donc la dimension de la matrice que lafol a posée est bien 4.
j'espère etre claire

oui mais par exemple si tu prends un vecteur (1,1) , pour le transformer en vecteur (3,7) , tu le fais passer dans la matrice :

1 2
3 4

donc tu fais passer un objet de dimension 1 dans un objet de dimension 4 pour le transformer finalement en objet de dimension 1 ?

c'est quoi??veuillez expliquer.qu'elle est l'application linéaire qui transforme (1,1) en (3,7)?et la base de l'espace vectoriel que tu as choisi?

j'ai juste fait le produit matriciel suivant :

1 2
3 4

multiplié par le vecteur :

1
1

Tout dépend, voilà l'origine du problème :

Si tu considères que ta matrice est celle d'un endomorphisme ( par exemple), alors les 2 colonnes forment une famille de deux vecteurs.

En revanche, l'espace des matrices carrées d'ordre 2, est un EV de dimension 4. Car il faut 4 coefficients.

quelle est la différence alors entre une matrice d'endomorphisme comme celle que j'ai présente qui a pour dimension 2 et une matrice carrée de dimension 4 comme celle là par exemple :

3 5
4 8

Ta matrice d'endomorphisme est elle aussi dans un espace de dimension 4. il ne faut pas confondre la dimension de l'espace d'arrivée, ou de départ, avec la dimension de l'espace des applications linéaires entre ces deux espaces ....

ok lafol c'est juste que c'est géométriquement impossible pour moi de m'imaginer un espace à 4 dimensions composé de 4 points . de 4 vecteurs on voit bien le repère mais 4 coefficients