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Famille vectorielle et endomorphisme
Bonsoir tout le monde 
! Mon problème ressemble à un vrai/faux , et le voici :
Soit E un -espace vectoriel de dimension finie et soit u un endomorphisme de E .Avec un entier i
[1,p] :
1)-Est-il vrai que si () est une famille libre alors u(
) est une famille libre?
2)-Est-il vrai que si u() est une famille libre alors (
) est une famille libre ?
3)-Est-il vrai que si () est génératrice alors u(
) est génératrice ?
4)-Est-il vrai que si u() est génératrice alors (
) est génératrice ?
5)-Est-il vrai que Ker(u) et Im(u) sont supplémentaires dans E ?
6)-Est-il vrai que si u() est une base de E alors (
) est une base d'un supplémentaire de Ker(u) ?
7)-Est-il vrai que Keru
Imu=Oe si et seulement si Ker(u) + Im(u)=E ?
Bon courage !
Bonjour,
Qu'as tu trouvé déjà ?
Commence par des tas d'exemples tres simples du genre u(ei)=ej ou 0 en dimension 3.
et regarde si ça a l'air vrai ou faux
pour ce qui est faux sur un exemple la réponse est faux
pour ce qui parait vrai sur quelques exemples il faut ensuite en faire la démonstration.
je te donne un exemple pour démarrer
u(e1)=e2,u(e2)=0, u(e3)=0
regarde déjà ce que cela donne sur tes questions
c'est juste un exemple pour détecter tout de suite quelques "faux" dans toute la liste et soupçonner des vrais.
Bonjour,
Tu postes beaucoup Med... mais je me demande si tu analyse les réponses qu'on te donne...
Dans un autre topic de ta part, je t'ai donné des contrexemples qui peuvent te servir ici...
du genre des projections de R^3 dans R^3
petites indications pour démarrer :
1) faux (trouve un contrexemple)
2) vrai... démontre-le en apprenant les définitions et propriétés du cours ...
etc...
MM
Salut tout le monde , désolé pour le retard ! MM , j'ai trouvé un contre-exemple pour la 1) à l'aide de l'application de R^3 dans R^3 que tu m'avais présenté dans un autre post . Pour la 2) , j'ai réussi la démonstration en prenant p scalaires ect ...
Est-ce que quelqu'un pourrait me donner des pistes pour la suite?
bonjour,
Il faudrait peut-être aussi essayer de se débrouiller un peu seul ! à ton avis ? la 3 est vraie ou fausse ?
Ho ! Et j'ai démontré la 7) et je cherche un contre-exemple pour la 5)(car je me souviens que ma prof m'a mis en garde sur cette affirmation une fois ,au tableau, devant toute la classe ..... bref !)
j'en suis à la 3... j'ai pour habitude de faire les choses dans l'ordre... et tu as démontré qu'elle est vraie... j'attends ta démo...
MM
Oui de E MM . Je prends un x dans E et je note () p scalaires tels que x=
.
Alors comme u , j'obtiens :
u(x)=
Et u(x)E .
j'en pense que cela n'a rien à voir avec la question !!!!!
tu montres que u(x) est dans E, ce qui est totalement évident ! c'est l'énoncé....
tu n'as visiblement pas compris ce que signifie "les u(ei) sont générateurs de E"...
et c'est cela qu'il faut démontrer !
MM
Il faut pourtant que je parte du fait que les sont générateurs de E . Mais il faut aussi utiliser le fait que u est un endomorphisme de E . Alors que dois-je faire ?
D'abord apprendre le cours.
Puis essaye de montrer que les u(ei) engendrent E sachant que les (ei) l'engendrent... ou alors chercher un contrexemple !
MM
Ah ! J'ai déjà démontré dans mon cours qu'avec nos hypothèses (citées plus haut) , on a u() génératrice de Im(u) . Or dans notre cas , Im(u)=E . Donc la 3) est prouvée !
A mon avis la 4) est fausse . Je suis en train de chercher un CEX .
Est-ce quelqu'un a une piste pour la 6) ?
Plus je regarde ce que je viens de poster et plus je me dis qu'il faudrait chercher un CEX pour la 3) . Qu'en pensez-vous ?
Commence déjà par regarder comme je te l"ai suggéré il y a un certain temps,
sur l'exemple simple que je te fournissais
u(e1)=e2,u(e2)=0, u(e3)=0
quelles sont les affirmations fausses
tu éliminera déjà un grand nombre d'affirmation fausse
car essayer de démontrer quelquechose de faux c'est pas tres productif. Il faut donc se faire une "idée" sur la vérité avec exemples et contre exemples avant d'aborder des démonstrations
En prenant () comme famille génératrice , ton exemple constitue un contre-exemple pour la 3) , n'est-ce pas apaugam ?
Il ne me reste plus que la 4) et la 6) .
1) F
2) V
3) F
4) F
5) F
6) V
7) F
maintenant trouve des démos ou des contrexemple.
Bon courage !!!!
MM
Merci MM , tes indications m'ont été d'une grande aide ! Mais j'ai du mal à prouver la 6) . Est-ce que quelqu'un peut m'aider ?
commence par démontrer que les forment une famille libre
ensuite cherche leur nombre et la dimension de l'image de u par rapport à la dimension de E
déduis en le noyau
l'énoncé 6 se réduit alors à peu de chose
Alors avec p scalaires , je montre que la famille est libre . Et il y a p vecteurs et E est de dim p . Or dim(Imu)
p .
Je ne vois pas comment en déduire le noyau apaugam .
est une base de E
comme est un systeme de générateurs de Im u
cela veut dire Im u=E donc Ker u= ......
Ainsi Ker u={} . Ainsi la dim d'un supplémentaire de Ker u est p et (
) est libre de longueur de p . Donc cette famille est une base de ce supplémentaire .
Qu'en penses-tu apaugam ?
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