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familles generatrices
Bonjour
Je cherche à démontrer que l'intersection de 2 familles génératrices n'est pas une famille génératrice .Je pensais prendre un exemple où l'intersection est l'ensemble vide ,mais j'ai lu que la famille vide est génératrice ,alors je me demande si mon idée etait bonne .Je me doute que famille vide est ensemble vide ne doit pas dire la même chose,mais les concepts sont un peu compliqués à comprendre pour moi.Peut-etre que mon choix d'exemple est inapproprié
Merci pour votre aide
C'est faux : si je prends deux fois la même famille et que je calcule son intersection, je me retrouve avec la même chose qu'au départ, soit une famille génératrice
Et la famille vide n'est clairement pas génératrice. Sauf si l'espace de départ est {0}, ce qui n'est pas très intéressant
En revanche je suis d'accord pour les deux résultats suivants :
- L'intersection de deux familles libres est une famille libre
- L'union de deux familles génératrices est une famille génératrice
En premier,merci pour votre réponse.Cependant,j'avoue mettre certainement mal exprimé,,ce que je voulais démontrer c'est que parfois l'intersection de 2 familles génératrices ne sera pas une famille génératrice ,c'est pour cela que je cherchais un exemple.J'ai bien conscience qu'il y a des cas ,comme l'exemple que vous avez cité où l'on aura une famille génératrice.
De plus,pourriez-vous démontrer les 2 résultats que vous énoncez?Naturellement,je pense que c'est vrai,mais je serais bien incapable de le démontrer ,je ne maîtrise pas assez bien ces chapitres.Donc,la démonstration pourrait peut-être m'aider dans ma compréhension de ces sujets.
leeloo08
En premier,merci pour votre réponse.Cependant,j'avoue m'être certainement mal exprimé,,ce que je voulais démontrer c'est que parfois l'intersection de 2 familles génératrices ne sera pas une famille génératrice ,c'est pour cela que je cherchais un exemple.J'ai bien conscience qu'il y a des cas ,comme l'exemple que vous avez cité où l'on aura une famille génératrice.
De plus,pourriez-vous démontrer les 2 résultats que vous énoncez?Naturellement,je pense que c'est vrai,mais je serais bien incapable de le démontrer ,je ne maîtrise pas assez bien ces chapitres.Donc,la démonstration pourrait peut-être m'aider dans ma compréhension de ces sujets.
Voici des définitions intuitives qui peuvent t'aider à comprendre ce que sont des familles libres et génératrices
Une famille génératrice est une famille qui contient suffisamment de vecteurs pour générer l'espace vectoriel en entier (par combinaisons linéaires)
Une famille libre est une famille qui contient assez peu de vecteurs pour qu'ils soient tous linéairement indépendants
Une base, c'est la réunion de ces deux définitions. Une base est une famille qui contient suffisament de vecteurs pour générer l'espace entier, et suffisamment peu de vecteurs pour qu'ils soient tous linéairement indépendants. Elle a le nombre parfait de vecteurs. Ce nombre, c'est la dimension de l'espace.
Si je suis en dimension 3 et que j'ai les deux bases (a,b,c) et (a,b,d) (avec c
d) (qui sont alors aussi des familles génératrices), alors l'intersection de ces deux familles vaut (a,b), qui n'est pas une famille génératrice, car elle n'a que deux vecteurs, ça ne suffit pas à générer un espace de dimension 3.
En revanche je suis d'accord pour les deux résultats suivants :
- L'intersection de deux familles libres est une famille libre
- L'union de deux familles génératrices est une famille génératrice
Ces deux résultats sont alors immédiats : L'intersection de deux familles libres est une famille libre à laquelle on a retiré des vecteurs. L'union de deux familles génératrices est une famille génératrice à laquelle on a rajouté des vecteurs.
On peut (et on doit!) démontrer avec les vraies définitions
Soit un R-espace vectoriel et
une famille de vecteurs de
est dite génératrice si
Soient alors deux familles génératrices et
et soit
.
Par le fait que est génératrice, on peut écrire
Mais alors, avec
Donc la famille est bien génératrice
merci beaucoup ,cela me permets de commencer à comprendre les concepts,mais le chemin vers la connaissance est encore long .On est sur des concepts bien compliqués .
En fait les définitions sont un poil plus complexes, pour inclure les ev de dimension infinie dedans, et encore un peu plus si tu veux parler de A-modules.
Mais en restant simple, tour ceci n'est que la conséquence du fait suivant
Si A et B sont deux parties d'un espace vectoriel telles que A est inclus dans B, alors Vect(A) est inclus dans Vect(B). De plus, si B est libre alors A aussi
Il suffit ensuite d'appliquer avec A = F (ou G) une des deux familles génératrices, et B = F ∪ G pour conclure que Vect(B) = E.
Pour l'intersection, c'est pareil, on prend A = F ∩ G et B = F (ou G), l'une des deux familles libres.
La preuve de l'inclusion des Vect est vraiment triviale : une combinaison linéaire d'éléments de A est en particulier une combinaison linéaire d'éléments de B puisque tout élément de A appartient à B...
La preuve de la liberté est la même : si une combinaison linéaire d'éléments de A est nulle, comme c'est aussi une combinaison linéaire d'éléments de B, qui est libre alors les coefficients sont tous nuls. Et donc A est libre
Note que ça généralise ton résultat
- une union quelconque de familles est automatiquement génératrice, dès lors qu'une au moins d'entre elles l'est
- une intersection quelconque de familles est automatiquement libre, dès lors qu'une au moins d'entre elles l'est
Bonjour,
Je reviens sur l'idée de départ de leeloo08 :
Je cherche à démontrer que l'intersection de 2 familles génératrices n'est pas une famille génératrice .Je pensais prendre un exemple où l'intersection est l'ensemble vide
Un ev de dimension 2 et de base
Alors
Mais l'intersection des deux n'est pas génératrice.
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