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familles libres de polynomes
bonjour
Soient U, V 2 K[X] non constants. On pose Pk = U^k V^(n−k). Montrer que (P0, . . ., Pn) est libre . . .
1) lorsque U ^ V = 1.
2) lorsque (U, V ) est libre
ca fait longtemps que je bosse sur cet exo mais envain
ce qui me gêne c que U et V sone non constants
j'aurais pu évaluer en zéro et le problème est résolu
merci d'avance.
Bonjour
Bien sur on commence par supposer que
1) On suppose U et V premiers entre eux. Comme U doit diviser , puisqu'il divise tout le reste et puisque U est non constant et V non nul, seule possibilité:
. Après on simplifie par U et on recommence...
2) Pour l'instant je ne vois pas...
0 V^n ?
Salut lafol. Et la suite? J'ai des solutions horriblement compliquées qui font intervenir les degrés de U et V et/ou leurs éventuelles racines! Mais on ne nous a pas dit sur quel corps ça se passe!
Bonjour conan90 et Camélia,
Pour le 1), de on déduit
donc U divise
.
Pour le 2):
premier cas, deg(U)=a > deg(V)=b alors est une fonction strictement croissante de k donc les polynômes Pk ont des degrés distincts.
deuxième cas: deg(U)= deg(V); on peut supposer U et V unitaires; alors deg(V) > deg(U-V) et la famille est donc libre.
Or donc la matrice de la famille
relativement à la famille B est triangulaire à coefficients diagonaux non nuls, donc la famille B' est libre.
Bonjour jandri
Oui, c'est bien à des trucs de ce genre que je faisais allusion! je me demandais si en faisant intervenir les racines (mettons dans C) on ne faisait pas plus "élémentaire"!
Encore moi!
Ca me turlupinait, alors voilà une autre solution pour la deuxième question.
Donc on part de la même relation
Soit D un pgcd de U et V. On écrit et
Si et
sont tous les deux non constants, en simplifiant la relation par
on trouve une relation de même type, mais avec
et
qui sont premiers entre eux, et on conclut en utilisant la première partie de l'exo.
Si un des deux seulement est constant, par exemple , ça sigifie que U divise V. On écrit V=UQ (avec deg Q > 0) dans la relation, on simplifie par
et on conclut en sachant que la famille
est libre.
Enfin, si et
étaient tous les deux des constantes, la famille (U,V) ne serait pas libre, donc ce cas est exclu!
Bonjour Camélia,
Ta démonstration de la question 2 est plus rapide que la mienne et elle utilise la question 1, c'est certainement ce qui était attendu; bravo!
bonour camélia
chapeauuuuuuuuuuuu
parceque en fait je viens de découvrir que la méthode que je vous ai dit j'ai trouvé était coplètement fausse!!
un grannnnnnnd merci 
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