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familles libres, génératrices
Bonjour,
J'ai une question:
On pose E=R^4, on considère les vecteurs suivants: a=(1,2,3,4) b(1,1,1,3); c=(2,1,1,1) d=(-1,0,-1,2) e=(2,3,0,1). On note U=VET(a,b,c) et V=VECT(d,e).
1)U et V sont ils des sev de E? Oui (U et V contiennent le vecteur nul de R^4, sont stables par addition et pr le produit).
Déterminer une famille libre et génératrice deU et de V:
(a,b,c) est une base de U et (d,e) est une base de V. dim U=3 et dim V=2
2)Famille libre et génératrice de U+V:
U+V={f*a+g*b+h*c+i*d+j*e, f g h i j réels}=VECT(a,b,c,d,e). Or dim(U+V)=5 ici ce qui contredit le fait que U+V est un sev de E (de dimension 4). Mon but étant alors de former une famille avec un nombre inférieur ou égal à 4 éléments, je ne trouve pas de un ou plusieurs vecteurs colnéaires entre les vecteurs a,b,c,d et e...
Merci d'avance de votre aide 
V je ne vois pas trop comment m'y prendre non plus ...
Bonjour
Bien entendu U+V n'est en aucun cas de dimension 5!
Le mieux est de lancer une opération de type "pivot" sur les 5 vecteurs, ça donnera tout en même temps!
Faut-il prendre chaque vecteur et voir s'il est possible d'exprimer chacun comme combinaison linéaire des 4 autres? Dans ce cas il me faudrait résoudre un ou plusieurs systemes et voir si ceux ci admttent une unique solution
J'ai réussi à exprimer le vecteur a=(1,2,3,4) en fonction de b,c,d et e. Je trouve a=18/5*b-14/5*c-11/5*d+2/5*e
Je viens de te le dire... Si tu n'as pas ce théorème, rien d'autre à faire que résoudre
Mais quand tu as trouvé ta relation, tu as probablement déjà vu au passage les conditions...
,
,
,
en fonction de
...
Je suis quand même étonnée que tu aies cet exercice (très calculatoire) sans connaitre la méthode du pivot et sans le théorème sur les dimensions...
si si je savais en fait, après avoir avoir trouvé la famille libre et génératrice de U+V que dim (U inter V )=1 bien sûr (j'ai oublié de le mentionner*). De plus je connais la méthode du pivot de Gauss (vue en L1) mais j'étais étonné de devoir l'utiliser dans ce type d'exos ^^
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