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fin d'exo

Posté par
omarion_91 13-01-10 à 22:39

bonsoir à tous alors j'ai l'exo suivant à faire et ayant déjà fait la a), il me reste que la b)
Soient F et G deux espaces supplémentaires de E. Soit x un vecteur de F et (y1...yp) une base de G
a) montrer que les vecteurs x+y1,x+y2,...,x+yp engendrent un sev supplémentaire de F noté Gx
b) montrer que si xx' alors GxGx'. En déduire que F admet une infinité de sev supplémentaires distincts
merci d'avance

Posté par
Camélia Correcteurre : fin d'exo 14-01-10 à 14:18

Bonjour

Bien sur ça dépend du corps! Je suppose que tu parles d'espaces vectoriels réels ou complexes.

Si on suppose G_x=G_{x'} on a x'+y_1\in G_{x} donc il existe des scalaires tels que

x'+y_1=\lambda_1(x+y_1)+...+\lambda_p(x+y_p) donc

x'-(\lambda_1+...+\lambda_p)x=(\lambda_1-1)y_1+\lambda_2y_2+...+\lambda_py_p

Le premier membre est dans F le second dans G, et comme F\cap G=\{0\} ils sont égaux à 0, et comme les y sont linéairement indépendants, \lambda_1=1 et \lambda_2=...=\lambda_p=0, donc x'=x.


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