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fonction definie par inregrale

Posté par
aziztanda 31-08-09 à 20:57

bonsoir
je bloque sur la question suivante :
on pose: F(x)=\int_x^{xaucarre}1/(lnt) dt
         F(1)=ln2
j'ai montre dans la premiere question que F est continue en 1
je bloque sur l'etude de la derivabilite de F en 1

Posté par
perroquetre : fonction definie par inregrale 31-08-09 à 21:02

Bonjour, aziztanda

Il suffit de  montrer que F' admet une limite quand x tend vers 1, ce qui est facile

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : fonction definie par inregrale 31-08-09 à 23:38

Bonjour aziztanda ;

comment as tu montré la continuité en 1\;?

salut perroquet

Posté par
aziztandafn integrale 31-08-09 à 23:51

bonsoir
je bloque sur la question suivante:
F(x)=\int_x^{x^2}1/lnt dt et F(1)=ln2
j'ai montre que F est continue en 1
2-etudier la derivabilite de F en 1 (je bloque)
si qq a  une idee  et merci d'avance

*** message déplacé ***

Posté par
gui_toure : fn integrale 31-08-09 à 23:53

Salut

Oui j'ai une idée : fonction definie par inregrale , et c'est du multipost

*** message déplacé ***

Posté par
aziztandafn integrale 01-09-09 à 00:23

salut gui_tou
je m'excuse pour le multipost
car je n'ai pas verifie que mon premier message etait envoye
encore une fois je m'excuse pour le desagrement

*** message déplacé ***

Posté par
aziztandafn integrale 01-09-09 à 00:43

salut elhor et perroquet
soit g(t)=t-1/ tlnt =1/lnt - 1/tlnt ,et g(1)=1
gest continue en1
par le th de la moyenne, j'ai montre que :
lim integrale entre x et x² de g(t)dt=0 (qd x tend vers1)
integrale entre x et x² de 1/tlnt=ln2
d'ou le resultat
pour l'idee de perroquet , je ne sais pas si on a le droit d'utiliser ce th

Posté par
perroquetre : fonction definie par inregrale 01-09-09 à 07:29

F est continue sur R, de classe C^1 sur R-{1}, F' admet une limite en 1. On peut donc appliquer le théorème.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : fonction definie par inregrale 01-09-09 à 12:15

\fbox{*} Le résultat qu'utilise perroquet est une conséquence du théorème des accroissements finis.

\fbox{*} Un autre moyen de montrer la dérivabilité de F en 1 :

pour 3$x\in]0,1[\cup]1,+\infty[ le changement de variable 2$u=\ell n(t) donne 4$ F(x)=\int_{\ell n(x)}^{2\ell n(x)}\frac{e^u}{u}du=\ell n(2)+\int_{\ell n(x)}^{2\ell n(x)}\frac{e^u-1}{u}du

la fonction 3$g\;:\;u\to\frac{e^u-1}{u}\;,\;g(0)=1 étant continue sur \mathbb{R} si G en est une primitive on a 4$ \frac{F(x)-\ell n(2)}{x-1}=\frac{G(2\ell nx)-G(\ell nx)}{x-1}

le théorème des accroissements finis donne alors l'existence de c entre \ell nx et 2\ell nx tel que 5$\fbox{\frac{F(x)-\ell n(2)}{x-1}=\frac{\ell nx}{x-1}g(c)} sauf erreur bien entendu

Posté par
aziztandafndefinie par integrale 01-09-09 à 16:04

salut elhor et perroquet
tout d'abord un grand merci pour les indications
donc , ona    lnx<c<2lnx   (à droite de 1)
quand x tend vers 1+, c tend vers0
g etant continue en 0 , ona lim g(c)=g(0)=1 qd c tend vers0
or lim  lnx / x-1 =1 qd x tend vers 1
donc lim  F(x)-F(1)/x-1 =1 adroite de1
a gauche de 1 , c'est le mem raisonnement
donjc F EST DERIVABLE EN 1 et ona : F'(1)=1
est c'est commme ça?
encore une foid merci pour les indications Elhor et Perroquet.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : fonction definie par inregrale 01-09-09 à 17:35

C'est ça aziztanda !

l'idée de perroquet consistait , après avoir justifié que 3$\forall x\in]0,1[\cup]1,+\infty[\;,\;F^'(x)=\frac{x-1}{\ell nx} ,

à appliquer le TAF en écrivant 3$\frac{F(x)-F(1)}{x-1}=\frac{c-1}{\ell nc} ...

Posté par
aziztandafn definie par inregrale 01-09-09 à 20:31

salut
merci beaucoup elhor_abdelali et perroquet
je viens de comprendre apres votre remarque ,l'idee de perroquet
encure une fois un grand merci et à la prochaine


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