Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Autre AnalyseTopics traitant de analyse [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau autre
Partager :

Fonction exponentielle

Posté par
wolvi01 22-12-08 à 21:38

bonjour à tous,
j'ai un exercice qui consiste à démontrer l'existence de la fonction exponentielle.

on définie expn(x)=(1+x/n)^(n)

Dans un premier temps j'ai montré que pour tout A ∈ [0,1[ et pour tout n ∈ N*
on a                     (1-A)^(n)≥1-An

maintenant on me donne A=(x/n)/(n-1+x)

je dois montrer que expn(x)≥exp(n-1)(x) je ne vois pas trop comment parvenir au résultat. Lorsque je remplace A par sa valeur je trouve des "morceaux de l'expression expn(x) mais e n'aboutis pas.
Est-ce que quelqu'un pourrait m'aider.

Merci d'avance pour vos réponses

Posté par
wolvi01re : Fonction exponentielle 22-12-08 à 22:20

personne n'aurait une idée pour aboutir à l'expression donnée?

Posté par
wolvi01re : Fonction exponentielle 23-12-08 à 09:22

personne pour un coup de main?

Posté par
Thibsre : Fonction exponentielle 23-12-08 à 11:16

Tu peux étudier la fonction:
[1,+\infty ]->\mathbb{R}
x -> (1+\frac{a}{x})^x=exp(xln(1+\frac{a}{x})
Il faut que tu prouves que cette fonction est croissante.

Posté par
wolvi01re : Fonction exponentielle 23-12-08 à 11:53

Merci pour ton aide tu pourrait m'expliquer comment est tu parvenus à cette fonction et comment vais-je rattacher cette étude à la première question?

Posté par
Thibsre : Fonction exponentielle 23-12-08 à 12:25

j'avoue n'avoir que lu "je dois montrer que expn(x)≥exp(n-1)(x)".
Sinon en étudiant la fonction sur R et pas sur N tu peux dériver et c'est ça l'avantage...

Posté par
wolvi01re : Fonction exponentielle 23-12-08 à 12:42

Donc retour à la case départ,
quand je remplace A dans l'expression j'ai un terme qui ressemble à l'inverse de expx sans la puissance mais e ne vois pas  m'en sortir

Posté par
Thibsre : Fonction exponentielle 23-12-08 à 13:37

Je crois avoir trouvé. J'ai calculé le quotient Q=expn/exp(n-1).On veut Q>1. Un peu de transformation donne:
Q=(1+\frac{x}{n})(\frac{1+\frac{x}{n}}{1+\frac{x}{n-1}})^{n-1}=(1+\frac{x}{n})(\frac{(n-1)(n+x)}{n(n+x-1)})^{n-1}=(1+\frac{x}{n})(\frac{n(n+x-1)-x}{n(n+x-1)})^{n-1}=(1+\frac{x}{n})(1-A)^{n-1}
En utilisant la propriété (1-A)^n\ge1-An, A\in[0,1[
Q\ge(1-(n-1)A)(1+\frac{x}{n})=(1-(n-1)A)(1+A(x+n-1))=1+Ax-A(n-1)*x/n=1+Ax(1-\frac{n-1}{n})\ge1
Un peu lourd mais je crois que ça passe...

Posté par
wolvi01re : Fonction exponentielle 23-12-08 à 15:35

merci beaucoup pour ton aide et ta patience.


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !