salut

il me semble que f(x) est la somme des dérivées paires de P affectées du coefficient +1 ou -1 suivant que le degré de la dérivée de P divisé par 2 est pair ou impair ...

Merci pour ta réponse carpediem.

A partir de là, on suppose = avec a et b entiers naturels non nuls.

Dès lors, on prend : pour x un réel.

Ils me demandent de démontrer que est entier relatif pour tout entier naturel j.

Peux-tu m'aider à exprimer .
Je pensais que pour x=0 alors mais je pense m'être trompé.

Merci d'avance !

et si tu començais à dérivée P une fois, deux fois, trois fois pour voir ce qui se passe ....


puis une récurrence ....

Je trouve:


donc

Est-ce cela ?

il serait peut-être bien de factoriser et simplifier ...

la dérivée en 0 est effectivement nulle pendant un bon moment ...

Mon prof m'a indiqué qu'il n'était pas nécessaire de trouver une formule générale de P mais plutôt raisonner par récurrence directement.

Est ce que j'ai le droit de raisonner de cette façon :

Hypothèse qui est bien un entier relatif.
On vient de vérifier (Hn) pour n=0.
Supposons (Hn) vraie pour un n donné.

Montrons que (Hn+1) vraie.

uhm pardon "soit

ne l'ayant pas proposé de toi-même je ne te l'ai pas proposé tout de suite mais bien sur une récurrence convient

l'hypothèse "P⁽ⁿ⁾(0) est un entier relatif" convient tout simplement _{^{enfin faut voir ....}}.... mais ce que tu écris par la suite ne veut rien dire ....

Ca aurait été trop simple.

Comment est ce que je pourrais démontrer (Hn+1) ?
Y aurait-il une autre méthode pour démontrer que est un entier relatif (toujours par récurrence) ?

Bonsoir,


Je ne vois pas très bien votre démarche:
la formule montre que f(x) est un polynôme
de degré 2n-2 ,formellement:
id/(id+D^2) o p(x) = f(x),
cela correspondrait à p(x)=f(x)+f"(x) ,


Alain

Pouvez vous m'expliquer à nouveau svp Alain car  je ne comprends pas les notations.
Merci

certe P est un polynome ... donc ses dérivées aussi

mais ne comprenant guère ton avant dernière ligne cela m"étonnerait que kirkins comprenne ..._{^{sans vouloir l'offenser ....}}

Bonjour,

La somme ne commence pas avec P nous avons donc
D^2/(id+D^2) o p(x) = f(x) (1),
cela correspondrait à p"(x)=f(x)+f"(x) (2),

Observons (2) :
  f(x)+ f"(x)  = p"(x)
-f"(x)-f''''(x)= -p''''(x)
.....
d'où
f(x) = ...
cette somme s'arrête car D^(2n)o x^(2n-2) = 0


A plus,

Alain