Bonjour,

1)J est de classe C1, donc le caractère lipschitzien équivaut ici à ce que dJ soit bornée.

Pour trouver dJ(x), utilise que la différentielle en (x,y) de l'application E X E (x,y) -> est (h,k) -> +

et interprète le premier terme comme une composée de deux fonctions différentiables.

Le deuxième terme est plus simple.

2)Si ce que tu as trouvé est juste, cette condition signifie que l'application linéaire associée à A est continue (ça on le savait déjà, on est en dimension finie!) et que sa norme est inférieure ou égale à M/2 .
Donc la condition serait que la norme de A soit inférieure ou égale à M/2.
Mais bon, b n'intervient pas...

salut  Tigweg et 1000 merci pour tes réponse .
J'ai une question : le dJ(x) est bien le grad(J)?
si j'ai bien suivi il faut et il suffit que ||2Ax||<=K , K un réel ?

Je t'en prie.

dJ(x) est l'application linéaire de matrice Grad(J(x)) dans la base canonique:

Grad J(x) est le vecteur dont le produit scalaire par h=(h1,h2,....,hn) donne l'image dJ(x)(h).

Tu parles toujours de a question 1 ensuite?

Normalement il devrait aussi y avoir une norme de x à droite, pour en déduire quelque chose sur la norme de A.

De toute façon, 2Ax a une norme qui tend vers l'infini lorsque celle de x tend vers l'infini!

Tigweg : le grad(J)=2Ax+b est non pas 2Ax;
ce qui donne dJ(x)h=<2Ax+b,h>, aprés comme tu a dis il faut et il suffit que |dJ(x)h|<=K
aprés je ne vois pas comment continuer !

Je trouve quant à moi que dJ(x) est l'application linéaire qui à h associe + + , donc par symétrie de A, cela donne <2Ax+b|h> .

La norme de cette application linéaire est égale à ||2Ax + b||, donc on se demande en effet à quelle condition ce truc là est majoré indépendamment de x.

J'ai sans doute dit une bêtise avant, il se pourrait bien que ||2Ax|| ne tende pas forcément vers l'infini lorsque ||x|| tend vers l'infini.

je ne comprend pas pourquoi tu veux que ||2Ax|| tend vers l'infini !!

Mais si, pourtant, à moins que A soit l'application nulle!

En effet, si tel n'est pas le cas, on a ||A|| = max {||Ax||, ||x||=1} (c'est atteint par continuité de A et compacité de la sphère unité, tout cela à cause de la dimension finie).



Ce nombre est strictement positif, et pour x qui réalise ce maximum, la norme de A(kx) tend vers l'infini lorsque |k| tend vers l'infini (k réel).




Conclusion : Si A est différente de 0, {||2Ax||-||b||, x dans E} n'est jamais un ensemble borné, et a fortiori {||2Ax + b||, x dans E} non plus!



J'avoue ne pas comprendre, où est l'erreur?

Le raisonnement est que J ne peut être lipschitzienne que si sa différentielle dJ est bornée (indépendamment de x), et on a vu que ce n'était pas le cas sauf si A est triviale.

Tigweg merci pour ton effort , je commence à comprendre .
une question lorsque tu dis " c'est atteint par continuité de A et compacité de la sphère unité" : tu parle de la continuité de l'application lineaire associé à la matrice A ?

pour te rassurer Tigweg , un amis a trouvé la meme chose la seul condition est que A soit nulle

Oui, exactement!

Je t'en prie, mais je ne commprends toujours pas où est notre erreur...

D'ailleurs c'est peut-être l'énoncé qui est faux:


regarde, en dimension 1 par exemple, les applications J sont de la forme

ax² + bx et ce n'est jamais lipschitzien (sauf si a=0 est nulle), ce machin-là!

En effet, la dérivée est non bornée.

Remarque en dimension 2, on aurait un truc du type (3x² - 5y²) + (6x - y) dans une base où la forme quadratique est diagonale.

Et même si cette forme quadratique n'est pas positive, comme ici, se pourrait-il que ce soit lipschitzien?


Certainement pas, |3x² - 5y²|/|x-y| n'est pas bornée sur R²/{x=y} comme le montre la famille de points (x,0) !

Donc je penche décidément pour un énoncé faux!

Si ce n'est pas le cas, ce serait bien que ton prof te dise ce qu'il pense de mon raisonnement!

Ok, je n'avais pas vu ton message, ça me rassure!

une autre question : pour trouver le norme de dJ(x).h=<2Ax+b,h> , tu fait comment ?
moi j'utilise l'inegalité  de Caushy -Lispchitz , mais j'ai du mal à conclure : |<2Ax+b,h>|<=||2Ax+b||*||h|| , comment conlure que norme de dJ au sens "norme des application lineaire " est égale à ||2Ax+b||?

C'est toujours vrai: pour tout vecteur a,la norme de l'application h-> vaut ||a||.


Il suffit de dire que si a est non nul, alors pour tout h, || < = ||a||.||h|| donc la norme est majorée par ||a||,

puis d'observer que pour x = a, on a l'égalité.

merci bcp , j'ai pas de mots pour te montrer ma gratitude

Mais avec grand plaisir!
_{Si tu veux absolument me remercier, j'ai pas mal de ménage à faire chez moi!}