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Niveau seconde
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Fonctions

Posté par
misselodu69 13-08-07 à 20:23

Bonjour, je suis desolée, je pose beaucoup de topic en ce moment mais je doit finir ce soir mes exercices et je suis loin de tout comprendre :-s.
Si quelqu'un pouvait m'aider ...

On considere la fonction definie par :
f(x) = 3x² + 4x - 5/3

a. Montrer que f(x) = 3 ((x+2/3)²-1)

b. Montrer que la fonction admet un min. de -3 atteint en x=-2/3

c. Resoudre f(x) = O

jusqu'à present, je ne reussit ni a factoriser l'expression, et pour trouver le minimum, je ne sait pas par ou m'y prendre.

Merci d'avance pour votre aide.

Posté par
Bourricotre : Fonctions 13-08-07 à 20:39

Bonjour,

a - Il faut que tu développes 3((x+2/3)²-1) et que tu arrives à 3x² + 4x - 5/3

b - Il faut factoriser 3((x + 2/3)2 - 1) en commençant par la factorisation de
(x + 2/3)2 - 1 en utilisant une identité remarquable

et puis après on verra

Posté par
Bourricotre : Fonctions 13-08-07 à 20:40

pardon pas besoin de factoriser ....

Posté par
cailloux Correcteurre : Fonctions 13-08-07 à 20:42

Bonsoir,

a) On factorise 3: 3$f(x)=3(x^2+\frac{4}{3}x-\frac{5}{9})

On écrit les 2 premiers termes de la parenthèse comme le début du développement d' un carré:

3$f(x)=3\left[(x+\frac{2}{3})^2-\frac{4}{9}-\frac{5}{9}\right]=3\left[(x+\frac{2}{3})^2-1\right]

On a obtenu ainsi la "forma canonique" du trinôme.

b) Sous cette forme, cette quantité est minimale quand 3$(x+\frac{2}{3}) est minimal c' est à dire nul, c' est à dire pour 3$x=-\frac{2}{3}.

c) 3$f(x)=0 \Longleftrightarrow 3\left[(x+\frac{2}{3})^2-1\right]=0 \Longleftrightarrow (x+\frac{2}{3})^2-1=0 \Longleftrightarrow x+\frac{2}{3}=\pm1 \Longleftrightarrow x=-\frac{2}{3}\pm 1

On a donc 2 solutions: 3$\{x_1=\frac{1}{3}\\x_2=-\frac{5}{3}

Posté par
cailloux Correcteurre : Fonctions 13-08-07 à 20:44

Bonsoir Bourricot,

Quand je suis dans le 3$\LaTeX, je ne vois plus rien ...

Posté par
misselodu69re : Fonctions 13-08-07 à 20:45

Est-ce que vous pourriez m'expliquer le develloppement svp parce que vous utilisez plein determe que je n'ai pas vu en seconde.
merci

Posté par
cailloux Correcteurre : Fonctions 13-08-07 à 20:46

Rectificatif:

b) Sous cette forme, cette quantité est minimale quand 3$(x+\frac{2}{3})^2 est minimal ....

Posté par
Bourricotre : Fonctions 13-08-07 à 20:47

En seconde, la solution la plus simple c'est quand même de partir de  3((x + 2/3)2 - 1)

pour montrer qu'on arrive bien à 3x2 + 4x - 5/3

LA forme canonique c'est en première (et encore pas toutes les premières qu'on la voit)

Posté par
misselodu69re : Fonctions 13-08-07 à 20:52

Ok merci, je sais developper, mais je n'aurais jamais su factoriser l'expression.
Pour le minimum dois-je faire :
(x+2/3)²>0 ( le carre d'un nombre est toujours positif )
3(x+2/3)²>0
3((x+2/3)²-1))>0
J'ai du mal a me souvenir du minimum. Comment trouver -3 ??
Je sais que x=-2/3 mais je n'arrive pas la suite

Posté par
Bourricotre : Fonctions 13-08-07 à 20:57

Il faut juste dire que puisque X2 0

alors X2 - 1 est minimum quand X = 0 ... à toi  

Posté par
misselodu69re : Fonctions 13-08-07 à 21:10

x²>0
(x+2/3)²> 2/3
3(x+2/3)²>3(2/3)
3((x+2/3)-1)>3(2/3-1)
3((x+2/3)-1)>3(-1/3)
3((x+2/3)-1)> -3/3
3((x+2/3)-1)> -1

Mais je ne trouve pas - 3.
Et je ne trouve pas non plus mon erreur :s

Posté par
Bourricotre : Fonctions 13-08-07 à 21:15

On reprend : Il faut juste dire que

X2 0   alors X2 - 1 est minimum quand X = 0

(x + 2/3)2 0 donc (x + 2/3)2 - 1 minimum quand  ???

qu'est-ce qui pourrait jouer le rôle de X dans la dernière ligne ?

Posté par
gui_toure : Fonctions 13-08-07 à 21:17

Bonsoir à tous

Misslodu69, je crois que tu n'as pas prêté attention à la police de Bourricot

Citation :

Il faut juste dire que puisque X^2\ge0 \\
alors X^2 - 1 est minimum quand X = 0 ... à toi.


Ce qu'il voulait dire, c'est que le carré d'un nombre x ou d'une expression X (par exemple en posant X=3x+2) est toujours positif.

Ici, il veut te faire comprendre que (x+\frac{2}{3})^2\ge 0.

Il a simplement posé X=x+\frac{2}{3}

Je reprend ce qu'a dit Bourricot :

Il faut juste dire que puisque (x+\frac{2}{3})^2\ge0 \\
alors (x+\frac{2}{3})^2 - 1 est minimum quand x+\frac{2}{3} = 0 ... à toi.

Posté par
Bourricotre : Fonctions 13-08-07 à 21:22

Citation :
Misslodu69, je crois que tu n'as pas prêté attention à la police de Bourricot


Mais je n'ai pas de police moi ! Je ne m'apelle pas Sarko !

Posté par
Bourricotre : Fonctions 13-08-07 à 21:23

J'ai la même police que tout le monde, la Républicaine, au service de tous les français.

Posté par
gui_toure : Fonctions 13-08-07 à 21:24

J'aurai dû dire au caractère (de la remarque) de Bourricot

Posté par
Bourricotre : Fonctions 13-08-07 à 21:25

Les n'apparaissent pas sur mes derniers posts ?

Posté par
misselodu69re : Fonctions 13-08-07 à 21:26

Je vais etre lourde mais je n'ai absolument rien compris.
En seconde, j'ai appris a trouver le minimum d'une fonction :
enn trouvant f(x)> (minimum )
Je sais pas si vous suivez ... et la j'ai du mal, c'est le trou noir je comprend plus du tout ...

Posté par
Bourricotre : Fonctions 13-08-07 à 21:34

Bon c'est sûr tu n'as pas vu cela en seconde ; mais on veut juste te faire utiliser une propriété que certains profs intrduisent en seconde (alors que c'est du programme de 1ère)

X2 0   alors X2 - 1 est minimum quand X = 0

en prenant X = (n'importe quoi) on pourra faire la même conclusion

(x + 2/3)2 0 donc (x + 2/3)2 - 1 minimum quand  ???

La question est donc de bien choisir la bonne valeur de X ; la remarque de gui_tou n'est pas nulle du tout !
Fais-tu la différence entre

X et x
X2 - 1  et (x + 2/3)2 - 1

Que faut-il prendre comme valeur pour X afin d'arriver à écrire (x + 2/3)2 - 1 sous la forme X2 - 1

Posté par
misselodu69re : Fonctions 13-08-07 à 21:37

Je ne sais pas du tout ... Je bloque completement !!
vous ne pourriez pas m'expliquer comment trouver le minimum a partir du programme de la seconde ?? :-s
Desolé de tant poser de questions

Posté par
Bourricotre : Fonctions 13-08-07 à 21:41

X2 - 1  et
(x + 2/3)2 - 1

tu ne vois pas ce que pourrait bien remplacer X dans la 2ème ligne

Posté par
misselodu69re : Fonctions 13-08-07 à 21:41

-2/3 ?

Posté par
Bourricotre : Fonctions 13-08-07 à 21:43

Pardon je me suis mal exprimé

Tu ne vois pas par quoi pourrait bien remplacer X dans la 1ère ligne pour obtenir la 2ème ligne ?

Posté par
misselodu69re : Fonctions 13-08-07 à 21:45

euh ... par (x + 2/3) ???

Posté par
Bourricotre : Fonctions 13-08-07 à 21:47

Et oui donc si on pose X = x + 2/3 alors X2 - 1 est minimum pour X = 0

donc sachant que X = x + 2/3 le minimum est obtenu pour ??? = 0

Posté par
misselodu69re : Fonctions 13-08-07 à 21:49

- 2/3 ?

Posté par
Bourricotre : Fonctions 13-08-07 à 21:53

oui en disant que X =  x + 2/3

X = 0 donc  x + 2/3 = 0 donc x =  ???

Même si je ne suis pas certain que tu aies réellement compris

Posté par
misselodu69re : Fonctions 13-08-07 à 21:54

Non je n'ai absolument rien compris :-s et pourtant je cherche.
Vous ne sauriez pas m'expliquer avec le programme de seconde ?
parce que la je seche vmt

Posté par
Bourricotre : Fonctions 13-08-07 à 21:58

Depuis mon post de 21h41, je ne sais pas comment te faire comprendre le rôle joué par X et x+2/3 (en faisant la différence entre X et x)

... je laisse la main à quelqu'un qui saura mieux t'expliquer que moi

Posté par
misselodu69re : Fonctions 13-08-07 à 21:59

ok ... Merci pour tout et desolé pour le temps perdu

Posté par
misselodu69re : Fonctions 13-08-07 à 22:01

JE VIENS DE COMPRENDRE !!!!!!!!

Posté par
Bourricotre : Fonctions 13-08-07 à 22:04

ouff ... j'étais à 2 doigts d'abandonner ....

Que vaut X (et non x) ?

Posté par
misselodu69re : Fonctions 13-08-07 à 22:07

Si X= -3
Si x = - 2/3

Posté par
cailloux Correcteurre : Fonctions 13-08-07 à 22:08

Re,

Je fais une petite tentative:

3$X^2 \geq 0 (toujours vrai).

et 3$X^2-1 \geq -1 (en ajoutant -1 aux deux membres)

Cette quantité: 3$X^2-1 est donc toujours supérieure ou égale à -1.

-1 est le minimum atteint pour 3$X=0

De la même manière en posant 3$X=x+\frac{2}{3} dans l' expression précédente:

la quantité 3$(x+\frac{2}{3})^2-1 est toujours supérieure ou égale à -1.

-1 est le minimum atteint pour 3$x+\frac{2}{3}=0, c' est à dire 3$x=-\frac{2}{3}

Je n' ai rien dit de plus que Bourricot

Posté par
cailloux Correcteurre : Fonctions 13-08-07 à 22:09

Toujours un train de retard...

Posté par
misselodu69re : Fonctions 13-08-07 à 22:12

Ok, jusque la je comprend.
la seule chose, c'est que l'on me demande de montrer que f admet un minimum de -3 atteint en x = - 2/3
Et on me donne un indice on me dit:  3(x+2/3)²>0

Posté par
cailloux Correcteurre : Fonctions 13-08-07 à 22:17

En redéveloppant partiellement:

3$f(x)=3(x+\frac{2}{3})^2-3 \geq -3 car 3$3(x+\frac{2}{3})^2 \geq 0

3$f(x) est donc supérieur ou égal à -3 et -3 est le minimum de 3$f(x) atteint pour 3$3(x+\frac{2}{3})^2=0, c' est à dire 3$x=-\frac{2}{3}

Posté par
misselodu69re : Fonctions 13-08-07 à 22:19

MERCI !!!!
Pour la question c, comment resoudre vu qu'il y a deux inconnus. On me dit d'utiliser la fonction du a. et une iidentite remarquable pour factoriser

Posté par
Bourricotre : Fonctions 13-08-07 à 22:20

Et un autre indice

X2 - 1  et
(x + 2/3)2 - 1


comment remplacer X de la  première pour arriver à la 2ème ligne ?  

Posté par
misselodu69re : Fonctions 13-08-07 à 22:30

Je ne vois pas ... Je vais allez dormir et reflechir a cela cette nuit
Merci pour toutes ces expliquations

Posté par
Bourricotre : Fonctions 13-08-07 à 22:35

Quand tu as (x + 3)2 à caluculer tu sais que tu vas devoir utiliser une identité remarquable (a + b)2 = a2 + 2ab + b[/sup]

(a + b)[sup]2 = a2 + 2ab + b[/sup]

(x + 3)[sup]2 =


que prends-tu pour remplacer a dans la formule, et b

donc dans

X2 - 1  minimum pour X = 0
(x+2/3)2 - 1 minimum pour ?? = 0

Que prends-tu pour remplacer X

  

Posté par
Bourricotre : Fonctions 13-08-07 à 22:38

Quand tu as (x + 3)2 à calculer, tu sais que tu vas devoir utiliser une identité remarquable (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(x + 3)2 =


Que prends-tu pour remplacer a dans la formule, et b ?

Donc dans

X2 - 1  minimum pour X = 0
(x+2/3)2 - 1 minimum pour ?? = 0

Que prends-tu pour remplacer X

Posté par
Bourricotre : Fonctions 13-08-07 à 22:44

Bonne nuit


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