toujours personne ?????

Bonjour, maamzelle

Pas facile, cet exercice.

Comme tu l'as expliqué dans ton post, il s'agit de résoudre le système:

                         

On a donc   X=a+b-Y, et en reportant cette valeur de X dans l'autre équation, on obtient après simplification, que:

                           

Le cas a=b est facile à traiter et donne l'unique solution  

Examinons le cas où a est distinct de b. Y est solution d'une équation du second degré dont le discriminant est strictement positif, je te laisse le soin de le prouver. On en déduit que, si on oubliait les conditions X>0 Y>0, le système admettrait deux couples de solutions  (a+b-Y1,Y1)  et  (a+b-Y2,Y2).
Pour montrer que le système admet une unique solution, il nous faut donc maintenant montrer que l'une des racines Y1 ou Y2 est comprise strictement entre 0 et (a+b), et seulement l'une d'entre elles.

Pour cela, je vais considérer le polynôme du second degré


On vérifie facilement que    g(0)=-(a+b)<0    g(a+b)=a+b>0.
Il n'est pas trop compliqué de montrer que ces deux résultats impliquent que g admet une unique racine strictement comprise entre 0 et a+b

Ce qui termine la résolution