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Fonctions continues

Posté par
GregStud 14-01-10 à 22:22

Bonjour j'aurai besoin d'aide pour l'exercice suivant
Démontrez à partir de la définition que la fonctions f:[-1,1]->R ci-dessous est continue en 0:
f(x)=1/(1+x²)
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
Définition :
Soient A\subset\mathbb{R} et f:A->\mathbb{R}. La fonction f est continue en a \in A, si pour tout \epsilon>0, il existe \delta>0 tel que pour tout x \in A avec |x-a|\le\delta, |f(x)-f(a)|\le\epsilon. La fonction f est continue si elle est continue en tout point de a \in A.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
f(x)-f(a)=\frac{1}{1+x^2}-1^=\frac{x^2}{1+x^2}
|x-a|=|x-0|=|x|
et je ne vois pas comment poursuivre...
Merci d'avance de votre aide!

Posté par
carpediemre : Fonctions continues 14-01-10 à 22:59

salut

il suffit de prendre =(<1)
car 1+x2>1 donc |f(x)-f(0)|<x2<x

Posté par
carpediemre : Fonctions continues 14-01-10 à 23:00

pardon ...<|x|<

Posté par
cailloux Correcteurre : Fonctions continues 14-01-10 à 23:02

Bonsoir,

f(0)=1

|f(x)-f(0)|=1-\frac{1}{1+x^2}=\frac{x^2}{1+x^2}<\varepsilon

x^2(1-\varepsilon )<\varepsilon

On suppose 0<\varepsilon <1

|x|<\sqrt{\frac{\varepsilon}{1-\varepsilon }}

et et il suffit de choisir: \delta=\sqrt{\frac{\varepsilon}{1-\varepsilon }}

Posté par
cailloux Correcteurre : Fonctions continues 14-01-10 à 23:04

Bonsoir carpediem

C' est vrai: qui peut le plus peut le moins...

Posté par
carpediemre : Fonctions continues 14-01-10 à 23:27

bonsoir cailloux

tout à fait
il est vrai qu'on peut expliciter aisément dans ce cas présent

Posté par
GregStudre : Fonctions continues 15-01-10 à 00:09

Bonsoir cailloux, bonsoir carpediem,
cailloux à partir de la 4ème ligne je ne suis plus
carpediem rien compris

Posté par
GregStudre : Fonctions continues 15-01-10 à 09:54

pourquoi x^2(1-\epsilon)<\epsilon?

Posté par
GregStudre : Fonctions continues 15-01-10 à 10:47

ok j'ai trouvé un grand merci à tous les deux !

Posté par
carpediemre : Fonctions continues 15-01-10 à 20:19

de rien

Posté par
carpediemre : Fonctions continues 17-01-10 à 17:53

regarde Fonctions continues


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