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4). Etudier la position de la courbe C par rapport a la droite d'équation
y = -x
On cherche le signe de f(x) - (-x) = f(x) + x = (e^x + x*e^x)/(e^x - 1) = e^x( 1+ x)/(e^x - 1)
On sait que e^x toujours > 0
On sait que
e^x - 1 > 0 quand x > 0
e^x - 1 < 0 quand x < 0
Donc on fait un tableau de signes où on met 1 + x qui change de signe pour x=-1 et e^x - 1 qui est du signe de x
Je trouve que f(x) + x est positif pour ]-00:-1[ U ]0;+00[ et donc la courbe est au-dessus de la droite.
et f(x) + x est < 0 pour ]-1;0[ et la courbe est sous la droite.
Attention, dans le tableau, 0 est valeur interdite.
2.a) Etudier suivant les valeurs de x le signe de (e^x-1).
b)Résoudre l'inéquation :
je me suis trompé dans cet énoncé 
c'est :
e^x + x / e^x - 1 > 1
moi je trouve sa
2.b) ex + x / ex - x > 1
(ex + x / ex - x) -1 > 0
(x-1) / (e^x -1) > 0
j'ai fait un tableau de variation qui donne :
x -00 1 +00
----------------------------------
x-1 - 0 +
------------------------------------
e^x-1 - +
------------------------------------
(x-1)/
(e^x -1) + 0 +
------------------------------------
Mais je sais pas comment conclur ...
Puis pour la 3.a :
3.a) Démontrer que lim [f(x)+x]=0
x->-00
je comprend pas comment on trouve sa :
donc f(x) + x tendra vers qui tend vers 0
plus précisément le :
- x*e^x
Je reprends
(x-1) / (e^x -1) > 0
Tu fais un tableau de signes avec -1 et 0
x-1 est < 0 pour x < -1 et > 0 pour x > -1
e^x - 1 > 0 quand x > 0
e^x - 1 < 0 quand x < 0
donc (x-1) / (e^x -1) est > 0 quand x = ]-00:-1[ U ]0;+00[
je comprend pas comment on trouve sa :
donc f(x) + x tendra vers qui tend vers 0
plus précisément le :
- x*e^x
la limite en -00 de x*e^x est 0 c'est du cours.
Tu fais un tableau de signes avec -1 et 0
x-1 est < 0 pour x < -1 et > 0 pour x > -1
POurquoi je prend la valeur -1 ?
Et pourquoi x-1>0 x>-1 ?
c'est pas plutot x> 1 ?? quand on le fait passer de l 'autre coté on change pas le signe ?
je reprend :
2.a) Etudier suivant les valeurs de x le signe de (e^x-1).
b)Résoudre l'inéquation : e^x + x / e^x - 1 > 1
moi je trouve sa
2.b) ex + x / ex - x > 1
(ex + x / ex - x) -1 > 0
(x-1) / (e^x -1) > 0
j'ai fait un tableau de variation qui donne :
x -00 1 +00
----------------------------------
x-1 - 0 +
------------------------------------
e^x-1 - +
------------------------------------
(x-1)/
(e^x -1) + 0 +
------------------------------------
Mais je sais pas comment conclur ...
ex + x / ex - x > 1
(ex + x / ex - x) -1 > 0
(x-1) / (e^x -1) > 0
C'est quoi le bon énoncé ?
(e^x + x) / (e^x - 1) > 1
(e^x + x) / (e^x - 1) -1 > 0
(e^x + x) / (e^x - 1) - ((e^x - 1)/(e^x - 1) > 0
(e^x + x - e^x + 1)/(e^x - 1) > 0
(x+1)/(e^x - 1) > 0
racine de x+1 c'est -1
on prend la valeur 0 pour e=x - 1
donc tableau de signes avec -1 et 0
le bon énoncé c est e^x+x / e^x -1 > 1
donc (e^x + x) / (e^x - 1) > 1
(e^x + x) / (e^x - 1) -1 > 0
(e^x + x) / (e^x - 1) - ((e^x - 1)/(e^x - 1) > 0
(e^x + x - e^x + 1)/(e^x - 1) > 0
(x+1)/(e^x - 1) > 0
et les solutions c'est ]0;+00[ ??
Mais fais le tableau de signes.
La solution est x = ]-00:-1[ U ]0;+00[
(x+1) / (e^x -1) > 0
Tu fais un tableau de signes avec -1 et 0
x+1 est < 0 pour x < -1 et > 0 pour x > -1
e^x - 1 > 0 quand x > 0
e^x - 1 < 0 quand x < 0
donc (x+1) / (e^x -1) est > 0 quand x = ]-00:-1[ U ]0;+00[
citation :
3.a) Démontrer que lim [f(x)+x]=0
x->-00
b)Que peut on en déduire ?
je cherche la limite en -00 de f(x) + x
= (e^x + x)/(e^x - 1) + x (je mets au même dénominateur)
= (e^x + x + x(e^x - 1))/(e^x - 1)
= (e^x + x + x*e^x -x)/e^x - 1)
= (e^x + x*e^x)/(e^x - 1)
on sait qu'en -00 e^x tend vers 0
donc f(x) + x tendra vers - x*e^x qui tend vers 0
Comment sait on sa :
donc f(x) + x tendra vers - x*e^x qui tend vers 0
(merci pour le reste j'ai tout compris maintenant 
)
surtout ce que je comprend pas c est comment trouver que y = - x
meme si l 'enoncé me le donne vous vous l'avez trouvez sans l'énoncé !
On en déduit que f(x) est asymprote en -00 à la droite y = -x car f(x) - (-x) tend vers 0 quand x tend vers -00
De manière générale, quand on a une courbe représentative d'une fonction f(x) et une droite d'équation y = ax + b
si la limite de f(x) - (ax + b) tend vers 0 quand x tend vers l'infini, la courbe est asymptote à la droite.
C'est un cas d'exercice très courant.
f(x) + x = (e^x + x*e^x)/(e^x - 1)
on sait qu'en -00 e^x tend vers 0
donc f(x) + x tend vers (e^x + x*e^x)/(e^x - 1) = ( 0 + x*e^x)/(0 -1) = (x*e^x)/(-1) = -x*e^x dont on connaît la limite dans le cours (c'est 0)
Je vous remercie pour m'avoir aidé et d'avoir prit de votre temps pour moi !!
Mon exo est finit mais je reviendrais surement alors a bientot !!
salut borneo
il me semble qu'on dit plutôt que la droite est asymptote à la courbe
Certes.
Mikayaou :
Merci Littleguy.
C'est pratiquement mon premier exo sur les exponentielles depuis mon bac
Et c'été ya lontemps ?
bonsoir littleguy et borneo
il me semble - à faire confirmer ou infirmer - que l'on donne le nom d'asymptote à la droite, point, courbe... vers laquelle la courbe étudiée se rapproche
ainsi, dans le cas du trident de Newton (appelée injustement parabole de Descartes) :
(C) : y = x² + 1/x
(C) a pour asymptotes :
¤ la parabole y = x²
et
¤ l'hyperbole y = 1/x,
et non le contraire
.
Salut Mikayaou.
Bien vu.
Je confirme ce que tu viens d'écrire. C'est un abus de langage de ma part, mais j'aime bien dire (je ne l'écris pas) que deux courbes sont asymptotes, sans préciser qu'on en étudie l'une plutôt que l'autre, à tort je le confesse.(il m'arrive aussi de dire des gros mots, mais chut !) 
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