Salut Arnaud,

Alors selon moi on peut procéder comme suit:

Pour la condition nécessaire,

on remarque que si l'équation admet une solution:

On peut le réécrire:


\begin{eqnarray*}
\left[\begin{array}{cc} a(\lambda)& b(\lambda)\end{array} \right]&=& \left[\begin{array}{cc} a(\lambda)& 0\end{array} \right] \left[\begin{array}{cc} 1 & x(\lambda)\\ 0 & 1\end{array} \right]\\
\left[\begin{array}{cc} a(\lambda)& 0 \end{array} \right]&=& \left[\begin{array}{cc} a(\lambda)& b(\lambda)\end{array} \right]  \left[\begin{array}{cc} 1 & x(\lambda)\\ 0 & 1\end{array} \right]^{-1}
\end{eqnarray*}
avec $N(\lambda)$=$ \left[\begin{array}{cc} 1 & x(\lambda)\\ 0 & 1\end{array} \right]^{-1} $ unimodulaire, ce qui correspond bien à la forme de smith.\\

D'autre part ayant la forme de smith, on peut écrire:

\begin{eqnarray*}
\left[\begin{array}{cc} a(\lambda)& b(\lambda)\end{array} \right]&=& \left[\begin{array}{cc} a(\lambda)& 0\end{array} \right] N(\lambda)^{-1}\\
b(\lambda)&=& \left[\begin{array}{cc} a(\lambda)& 0 \end{array} \right] N(\lambda)^{-1}  \left[\begin{array}{c} 0 \\ 1\end{array} \right]
\end{eqnarray*}

avec $x(\lambda)= N(\lambda)^{-1}  \left[\begin{array}{c} 0 \\ 1\end{array} \right]$