Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Forme quadratique et forme bilinéaire symétrique dégénérée
Bonjour, je remonte ce sujet car j'ai une question en rapport :
J'ai une forme quadratique définie par q(P)=
(P,P)=
01 P'2(t) dt.
Où P
3[t].
Si P(t)=x1+x2t+x3t2+x4t3.
On a P'(t)=x2+2x3t+3x4t2.
J'ai calucler q(P)=(4/3)x32+(9/5)x42+2x2x3+2x2x4+3x3x4.
Sous forme réduite j'ai :
q(P)=(4/3)(x3+(3/4)x2+(9/8)x4)2-(4/3)((3/4)x2+(9/8)x4)2-(9/5)(x4-(5/9)x2)2+(9/5)(-(9/5)x2)2
La signature est (2,2), son rang est 4 et on en déduit que q est non dégénérée.
Cependant si j'écris la matrice de , j'obtiens :
0 0 0 0
0 1 1 1
0 1 4/3 3/2
0 1 3/2 9/5
Le determinant de cette matrice étant égale à 0 => est dégénérée.
Or si est dégénérée, q l'est aussi.
Qu'est ce qui cloche ?
(J'ai vraiment galéré à écrire ce message, j'espère qu'il sera bien lisible et que quelqu'un pourra me répondre !!)
Merci beaucoup 
En développant via un logiciel type Mapple, je retrouve ma forme initiale :
q(P)=(4/3)(x3+(3/4)x2+(9/8)x4)2-(4/3)((3/4)x2+(9/8)x4)2-(9/5)(x4-(5/9)x2)2+(9/5)(-(9/5)x2)2
Bonsoir.
J'appelle plutôt a, b, c, d les lettres xi
D'accord avec toi q(P) = b² + c² +
d² + 2bc + 3cd + 2bd.
De toute façon, la variable a (x1) n'intervenant pas, la forme est dégénérée.
En réduisant par la méthode de Gauss :
q(a,b,c,d) = (b + c + d)² + (c +
d)² +
d²
Donc sgn(q) = (3,0)
Merci, c'est pour cela l'oublie de x22 m'a fait faire des calculs horrible, d'où l'erreur à la fin.
Avec quelle méthode puis-je à présent déterminer une base-orthogonale ?
Celle ou l'on cherche un vecteur anisotrope ?
Merci
Bonjour, raymond 
Tu as été beaucoup plus efficace que moi puisque tu as réduit la forme quadratique
Pour Prehilbertien
ce n'est pas parce que tu as écrit ta forme quadratique sous forme d'une combinaison linéaire de carrés que cela va te donner la signature.
Il faut que ces termes (formes linéaires) dont on prend le carré, soient linéairement indépendants.
Je sais bien que tu as utilisé la méthode de Gauss et que la méthode assure l'indépendance des formes linéaires. Mais, en appliquant la méthode, tu as fait une erreur quelque part (calcul trop lourd). Comme l'a fait raymond, tu aurais dû commencer par x2, mais tu avais "oublié" le terme x2^2 dans ton expression, ce qui "t'obligeait" par éliminer les termes en x3^2, ce qui donnait des calculs très lourds.
Bonsoir Perroquet.
De toute façon, écrire les calculs avec b, c, d au lieu des xi rend les choses bien plus limpides.
D'ailleurs, poser : P = a + bX + cX2 + dX3 m'a semblé naturel.
Oui, mais c'était les notations de l'énoncé, pas évident de les changer le jour d'un partiel.
Sinon, comment déterminer une base -orthogonale ?
Dois je chercher un vecteur anisotrope, puis calculer son orthogonale etc... ? (je ne connais pas le nom de cet algorithme !).
Merci
Tu as déjà trois formes linéaires
l2(x1,x2,x3,x4)=x2+x3+x4
l3(x1,x2,x3,x4)=x3+3/2 x4
l4(x1,x2,x3,x4)=x4
Ces trois formes linéaires forment une famille libre.
On complète cette famille en une base, en prenant:
l1(x1,x2,x3,x4)=x1
Une base q-orthogonale est une base antéduale de (l1,l2,l3,l4).
Merci, je pensait à cette méthode que j'utilise toujours pour les formes quadratiques. cependant, c'est la première fois que j'ai à faire à une forme dégénérée.... Merci beaucoup !
Et lorsque j'ai une forme quadratique qui me donne :
l1(a,b,c)=a-c+2b
l2(a,b,c)=c-2b
Comment compléter la famille libre {l1,l2} pour avoir une base ?
J'aurais besoin d'une simple explication, je ne me souvient plus comment on fais pour trouver un troisième vecteur independant !!
Merci
De plus, pour en revenir à la forme quadratique précédente, j'ai trouvé une base mais je ne suis pas persuadé quelle soit orthogonale :
Je reprends mes 4 formes linéaires linéairement indépendantes : elles forment une base de R^4*, le dual de R^4
l1(x1,x2,x3,x4)=x1
l2(x1,x2,x3,x4)=x2+x3+x4
l3(x1,x2,x3,x4)=x3+3/2 x4
l4(x1,x2,x3,x4)=x4
La matrice de passage de (e1*,e2*,e3*,e4*) à (l1,l2,l3,l4) est R :
1 0 0 0
0 1 0 0
0 1 1 0
0 1 3/2 1
Je calcul P=(tR)^-1
1 0 0 0
0 1 -1 1/2
0 0 1 -3/2
0 0 0 1
Les vecteurs de ma base orthogonales sont les colonnes de cette matrice, or elle ne me semble pas orthogonale (par exemple le produit scalaire de la deuxième et de la 3ème colonevaut -1 et non 0, bizarre ? Ou est l'erreur ?
Merci beaucoup
La base trouvée n'est pas orthogonale par rapport au produit scalaire canonique, elle est -orthogonale
Non.
Si on veut vérifier l'orthogonalité:
Il faut calculer
et montrer que la quantité est nulle pour
Ok, et pour ma question prcédente :
Lorsque j'ai une forme quadratique qui me donne :
l1(a,b,c)=a-c+2b
l2(a,b,c)=c-2b
Comment compléter la famille libre {l1,l2} pour avoir une base ?
J'aurais besoin d'une simple explication, je ne me souvient plus comment on fais pour trouver un troisième vecteur independant !!
Merci
Il suffit de prendre l'une des 3 formes linéaires
e1(a,b,c)=a e2(a,b,c)=b e3(a,b,c)=c
e1 ne convient pas (déterminant nul)
Par contre, on peut choisir e2 ou e3
Ok merci, et si jamais l'on se trouve dans le cas ou aucune de ces 3 formes linéaires ne convient (si ce cas est possible ?). Comment fait ton ?
Merci
(désolé pour toutes ces questions, mais ça m'aide à comprendre !!!)
1°) La forme quadratique :
permet de remonter à la forme bilinéaire symétrique :
Quand on parle d'orthogonalité, il s'agit en fait de -orthogonalité.
2°) La décomposition en carrés de formes linéaires indépendantes de q permet de mettre en évidence trois formes. En lui adjoignant la première forme (1,0,0,0) on obtient une matrice :
(les formes sont en ligne)
Alors,
Les colonnes de cette dernière fournissent une base -orthogonale.
Sur cette base :
Sauf erreur de frappe ou de calcul.
Remarquer que la restriction de à l'hyperplan des polynômes du type bt +ct² + dt3 est un produit scalaire.
Annuler
connectez vous
algèbre en post-bac