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forme quadratique vecteurs isotropes et orthogonal
Bonjour !
Je suis entrain de faire un exercice et je ne suis pas sure de ce que l'ont me demande, pouvez vous s'il vous plait m'éclaircir ?
J'ai q(x)=4x1x2+6x3²+6x3x4+2x4²
1- La matrice de f dans {e1,e2,e3,e4} est
A = 0 2 0 0
2 0 0 0
0 0 6 3
0 0 3 2
f est non dégénérée
sa signature est (3,1) car on peut écrire q sous la forme :
q(x)= 2(x4+3/2 x3)²+3/2 x3²+(x1+x2)²-(x1-x2)²
Tout cela je pense que c'est correct.
2- On me demande quels sont les vecteurs isotropes du plan P = Vect(e1,e2) ?
Les vecteurs du plan P s'écrivent a.e1+b.e2 donc seul le vecteur nul appartient au noyau.
Donc est-ce que je peux dire que la restriction de q à P est non dégénérée ?
Est-ce que la restriction de q à P a pour signature (1,1)?
Je dis ça parce que pour moi, la restriction de q à P c'est en fait (x1+x2)²-(x1-x2)². Mais je n'en suis pas certaine du tout.
3-L'orthogonal de P est engendré par le vecteur (1,-1), est-ce bien cela ?
Par avance je vous remercie pour vos précisionset explications
Elotwist
salut
pour le 3 ne serait-ce pas plutôt (1,-1,0,0) car tu es dans R4
d'autre part tu en as trouvé un mais les as-tu tous ?
(j'en sais rien j'ai pas regardé)
ne faut-il pas repasser par la forme bilinéaie symétrique pour déterminer l'orthogonal ?
d'ailleurs si f est non dégénérée la somme des dimensions d'un sous-ev et de son orthgonal est la dim de l'espace total
Je vais regarder pour l'orthogonal parce que j'ai fait comme si j'étais que dans R² je n'ai pas du tout pris en compte e3 et e4. Sinon le reste est juste ou pas ?
Bonjour,
ok pour la question 1.
A la question 2, d'accord avec tout ce que tu écris, sauf que tu ne réponds pas à la question!
q restreint à P est en effet non dégénérée et de signature (1;1), mais ce n'est pas pour autant qu'elle n'admet pas de vecteurs isotropes! (L'autre implication serait vraie, en revanche).
On trouve que les vecteurs isotropes sont les multiples de e1 et les multiples de e2.
Enfin à la question 3, ton résultat est faux.
L'orthogonal de P est l'ensemble des vecteurs orthogonaux à la fois à e1 et à e2.
En décomposant y dans la base de départ, on voit que la première condition équivaut à
et que la deuxième équivaut à
Au final, on a .
Merci beaucoup j'ai compris mes erreurs.
Pour la suite de l'exercice...
J'ai H qui est le sous espace vectoriel de E=R4
4- Je dois déterminer l'orthogonal de H pour f.
En utilisant la meme methode qu'au dessus je trouve que l'orthogonal de H est égale à vect(e4).
5- Je dois démontrer que E = la somme direct de H et son orthogonal.
Pour ça j'utilise l'égalité des dimensions et une inclusion. En effet on a clairement que E est inclus dans H + orthogonal de H. et on a dim (H+Orthogonal de H)=4= dim E.
6- Je dois en déduire l'existence d'un endomorphisme Sh tel que
Pour tout x appartenant à H Sh(x)=x et pour tout x appartenant à l'orthogonal de H Sh(x)=-x.
Je n'arrive pas à faire le lien avec ce qui precede... je ne vois pascomment en déduire...
Par contre je sais que Sh(Sh(x))= x pour x appartenant à H ou son orthogonal donc je peux dire que Sh est bijectif.
H
H et y
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