Salut gunsouci, ça faisait longtemps!

Ca va bien?

Ker f est de dimension 1, et bien engendré par(-2;1;1).

Donc, d'après le théorème du rang, Im(f) est de dimension 2, donc ce ne peut pas être R³!

Il suffit de considérer les deux premiers vecteurs colonnes de la matrice de f, ils sont dans Im(f) et indépendants, donc ils forment une base de Im(f).

ok, mais comment le montrer par la definition de Im f , cad,
v appartient a Im(f) ssi il existe u tq v=f(u),
comment je peux trouver Im f avec cette definition?

Si (e₁,e₂,e₃) désigne la base canonique, le premier vecteur colonne est par définition l'image de e₁ par f, donc il est bien dans Im(f).

De même pour le deuxième.

Comme ils sont indépendants et que dim(Im(f))=2, ils en forment une base.

et comment je peux montrer que Ker et Im sont supplementaires?

Il suffit de montrer que la famille constituée des vecteurs de base de Ker f et de Im(f) est une base de E.

ok !!! merci beaucoup une fois de plus ...
Bonne soiree

De rien, bonne soirée.