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formes quadratiques et bilinéaires
Bonjour à tous,
je me permet de vous déranger en ce joli dimanche pluvieux.
J'aimerai savoir quelle est la différence entre une forme dite bilinéaire symétrique et une forme quadratique?
comment prouver qu'une forme bilinéaire est diagonalisable?
et comment trouver la forme bilinéaire C(x,y)? faut il simplement lire la matrice de reference et en donner une forme avec x1, x2, y1 et y2
merci davance
Bonjour 
On dit que q : E --> K est une fq si il existe une fbs telle que pour tout x dans E, q(x)=f(x,x).
f est la forme polaire associée, on a : f(x,y)=1/2(q(x+y)-q(x)-q(y)).
Pourquoi une forme bilinéaire serait diagonalisable ?
Haileau Haileau
Généralement, dans la définition d'une forme quadratique, il y a la notion de forme bilinéaire symétrique.
En gros, Q : V ---> K est une forme quadratique s'il existe une forme bilinéaire symétrique B : VxV ---> K tel que
Q(u) = B(u,u)
Avec V un K-espace vectoriel et K un corps de caractéristique différente de 2 (ça évite bien des ennuis)
Donc en se donnant une forme bilinéaire, on a une forme quadratique.
De la même façon, en se donnant une forme quadratique, on peut retrouver une forme bilinéaire : C'est ce qu'on appelle Polariser une forme quadratique.
B(u,v) = 1/2 ( Q(u+v) - Q(u) - Q(v) ) (d'où l'intérêt de prendre une caractéristique différente de 2 )
Bonjour,
Au passage oui une forme quadratique est toujours "diagonalisable" c'est à dire équivalente (ou congruente) à une forme quadratique diagonale, c'est le procédé de réduction de gauss qui assure ça.
C'est pas une conséquence bébête du théorème spectrale ton histoire là? (Je suis pas sûr de savoir ce qu'est la réduction de Gauss... parce que je suis pas sûr que ça soit encore au prog...)
Bonjour
il y a une différence de taille entre une forme bilinéaire (symétrique ou pas) et une forme quadratique : l'ensemble de départ ! E pour la quadratique, ExE pour la bilinéaire
et oui, une matrice symétrique réelle est toujours diagonalisable
Au passage oui une forme quadratique est toujours "diagonalisable" c'est à dire équivalente (ou congruente) à une forme quadratique diagonale, c'est le procédé de réduction de gauss qui assure ça.
Attention la réduction de Gauss ne correspond pas à une diagonalisation de la matrice
la nouvelle matrice de la forme quadratique est
alors que lorsqu'on diagonalise a nouvelle matrice c'est
cela ne permet pas de diagonaliser la matrice
Mais heureusement il y a moyen de faire coincider les deux choses en utilisant le théorème de diagonalisation des matrices symétriques réelles(c'est tout à fait différent de la réduction de Gauss) on peut trouver une nouvelle base (de vecteurs propres) orthonormée. C'est la raison du petit miracle : la matrice de passage est du coup orthogonale et
je précise toutefois que la réduction de Gauss permet de trouver une nouvelle base dans laquelle la matrice de la forme quadratique est diagonale et cela est tres utile pour determiner la signature par exemple
Autre problème : avec Gauss on distingue une ellipse d'une hyperbole par la signature mais on ne distingue pas un cercle bien rond d'une ellipse toute aplatie.
C'est bien pour cela que j'avais mis diagonalisable entre guillemets, j'ai d'ailleurs précisé que la matrice était congruente a une matrice diagonale et pas conjuguée.
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