Niveau Maths sup

formule de cardan

Posté par
antoine7272 07-03-08 à 11:10

Bonjour est-ce que quelqu'un pourrait me donner les formules de Cardan pour résoudre une équation du troisième degrés.
D'avance mlerci

Posté par re : formule de cardan 07-03-08 à 11:24

bonjour

un très bon résumé en cliquant sur la maison :

Posté par re : formule de cardan 07-03-08 à 11:47

Equation du 3ème degré

Posté par re : formule de cardan 07-03-08 à 11:54

Le revoila en Latex.

Rappel succinct de la théorie permettant de résoudre n'importe quelle
équation du type $x^3 + ax^2 +bx + c = 0$ .
En posant $x = y - \frac{a}{3}$ , ces équations peuvent être ramenées à la forme :
$y^3 + py + q = 0$ .

3 cas peuvent alors se présenter :

1) $(\frac{q}{2})^2 + (\frac{p}{3})^3 > 0$

Il y a alors une racine réelle R.
$R=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3}}$
Il y a aussi 2 racines complexes conjuguées C1 et C2.
$C1=-\frac{R}{2}+i.\frac{\sqrt{3R^2+4p}}{2}$
$C2=-\frac{R}{2}-i.\frac{\sqrt{3R^2+4p}}{2}$
-----

2) $(\frac{q}{2})^2 + (\frac{p}{3})^3= 0$ .

Il y a alors une racine double $R1 = R2 = -\frac{3q}{2p}$ .
Il y a aussi une 3ème racine : $R3 = \frac{3q}{p}$ .

----
3) $(\frac{q}{2})^2 + (\frac{p}{3})^3 < 0$ .

Il y a 3 racines réelles que l'on peut trouver par une méthode
trigonométrique.
$R1 = \sqrt{\frac{-4p}{3}}.\cos(\frac{\arccos(-q.\sqrt{\frac{-27}{4p^3}})}{3})$
$R2 = \sqrt{\frac{-4p}{3}}.\cos(\frac{\arccos(-q.\sqrt{\frac{-27}{4p^3}})}{3}+\frac{2\pi}{3})$
$R3 = \sqrt{\frac{-4p}{3}}.\cos(\frac{\arccos(-q.\sqrt{\frac{-27}{4p^3}})}{3}+\frac{4\pi}{3})$
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