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formule de "somme parallèle"

Posté par
Maurice33 26-06-08 à 16:37

Bonjour!!

Je suis en pleines révisions de combinatoire et je me rends compte que j'utilise fréquemment une formule, que par ailleurs je n'arrive pas à démontrer..
Il s'agit de la formule de "somme parallèle" :
0kn Cx+kk = Cx+n+1n

J'imagine qu'il faut utiliser dans un premier temps la symétrie des coefficients binomiaux puis remarquer une propriété au sein du triangle de Pascal.. mais pour le moment ce n'est pas très clair pour moi..
Voilà..si quelqu'un avait une piste à me donner ce serait très sympa!!
Merci d'avance!
Bonne journée!

Posté par
Maurice33désolé.. 26-06-08 à 16:45

En fait je viens de trouver une âme charitable..et par récurrence ça se fait en dix secondes..
Désolé et merci quand même!!
Bonne journée!

Posté par
lafol Moderateurre : formule de "somme parallèle" 26-06-08 à 17:44

Bonjour
je voulais te proposer une récurrence, mais je vois que ça a déjà été fait

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : formule de "somme parallèle" 26-06-08 à 22:04

Bonjour ;

On peut aussi utiliser la formule de \scr Pascal : 5$\fbox{m,p\in\mathbb{N}\;,\;1\le p<m\\C_{m}^{p}=C_{m-1}^{p}+C_{m-1}^{p-1}}
qui pour 4$\fbox{m=x+k+1\;,\;p=k\\x\in\mathbb{N}\;,\;k\in\mathbb{N}^*} donne 5$\fbox{C_{x+k}^{k}=C_{x+k+1}^{k}-C_{x+k}^{k-1}} d'où par téléscopie
4$\fbox{\Bigsum_{k=0}^{n}\;C_{x+k}^{k}=C_{x+0}^{0}+\Bigsum_{k=1}^{n}\;C_{x+k}^{k}=1+\Bigsum_{k=1}^{n}\;C_{x+k+1}^{k}-C_{x+k}^{k-1}=1+C_{x+n+1}^{n}-1=C_{x+n+1}^{n}} (sauf erreur bien entendu)

Posté par
Maurice33re : formule de "somme parallèle" 27-06-08 à 16:02

Merci beaucoup pour cette solution.. Je sentais bien que ce cher Pascal y était aussi un peu pour quelque chose..!!


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