Es tu sûr que 1 est racine double ? Tacine simple d'accord mais double ????

suffit de dériver

P'(x)=n2x^(n-1)-2nx

donc 1 est racine de P' et de P, donc racine double de P ...

J'ai trouvé une méthode mais je ne me sers pas de Taylor ( je me rappelle meme plus ce que c'est d'ailleurs, mon cerveau prend de l'age !) Tu es preneur ?

Bonsoir à tous,

Dcamd, comme tu dois diviser par (X-1)², utilise Taylor en X=1 plutôt qu'en X=0.

amauryxiv2, je suis ouvert à toute méthode lol

D'accord PIL, merci pour l'indication;

ça donne P(X-1) = (n²-2n)X²+(1/3 n³-n²+2/3)X³

Mais cette formule ne m'aide pas du tout, ai-je fait une erreur ?
Merci

Je n'ai pas été assez clair : ton polynôme P est exprimé avec des puissances de X; tu devrais l'exprimer avec des puissances de X-1; tu peux utiliser Taylor, mais tu peux aussi remplacer X par (X-1)+1 :  tu as
P(X) = 2Xⁿ-nX² + n-2 = 2((X-1)+1)ⁿ - n((X-1)+1)² + n-2
et tu développes en gardant les (X-1); tu verras que tu peux mettre (X-1)²  en évidence ...

Alors allons-y:

P(X) = 2(Xⁿ-1) - n(X²-1) = (X-1)(2_i<°,n-1>Xⁱ - n(X+1)

Donc en découpant le 2 en deux sommes distinctes:
P(X) = (X-1)[(1 + X_i<0,n-2>Xⁱ) + _i<0,n-2>Xⁱ + X^n-1 = (X-1)[(X+1)_i<0,n-1>Xⁱ-1

Comme chaque Xⁱ-1 est divisible par X-1, je te laisse finir car c'est tres long à écrire sur ce site.

Merci pour cette réponse.

J'ai donc obtenu

P(X) = -n(X-1)²-2n(X-1)-2
P(1) = -2, ça ne s'annule toujours pas pour 1. Y a-t-il une erreur ?

Bonjour,

Oui, il y a une erreur : par définition le polynôme P(X) est de degré n et ton polynôme P(X) est de degré 2 ...

C'est les dérivation qui faisait que les degrés supérieurs s'annulaient...

Reprenons au début: je te propose de faire l'exercice dans le cas particulier n=3. Le polynôme est P(X) = 2X³ - 3X² + 1; et tu dois trouver le quotient de P(X) par (X-1)². L'idée est d'exprimer P(X) avec des puissances de (X-1) :



Tu vois ainsi que 1 est une racine double et que le quotient de P par (X-1)²  est 2(X-1) + 3 = 2X + 1.
Tu peux suivre la même démarche dans le cas général. Bon travail !

petite erreur 5ème ligne:  "2(X-1)³ + 3(X-1)²"