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Formules d'une puissance de matrice
Bonjour, une petite question parce que je crois m'être embrouillé dans les signes pendant la prise de notes :
Quelle est la formule de A^n si la racine a du polynôme caractéristique est double ?
(Je crois que c'est A^n = P(A) = P'(a).A + (P(a) - a.P(a)).Id mais je n'en suis pas très sûr)
Merci d'avance
Bonjour.
Je suppose que cette racine double est a. Donc, le polynôme caractéristique est (X - a)² (et le plolynôme minimal).
Le théorème de Cayley-Hamilton te donne (A - aI)² = O
Divisons Xn par (X - a)² :
Xn = (X - a)².Q(X) + unX + vn (I)
On dérive :
nXn-1 = 2(X - a).Q(X) + (X - a)².Q'(X) + un (II)
En remplaçant X par a dans (I) et (II), cela donne :
un = nan-1 et vn = -(n - 1)an
En remplaçant X par A dans (I) et en appliquant le théorème de Cayley-Hamilton :
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