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Fraction Rationnelle

Posté par
bababreton 04-05-08 à 11:23

Salut je débute dans les fractions rationnelles et j'aimerai savoir les différentes étapes sur la décomposition en éléments simples de cet exemple :
\frac{4X^{4}}{(X^{4}-1)^{2}}

Posté par
Tigweg Correcteurre : Fraction Rationnelle 04-05-08 à 12:22

Salut,

commence par factoriser ton dénominateur au maximum.Observe ensuite que la partie entière sera nulle, puisque le numérateur a un degré strictement inférieur au dénominateur.

Ecris ensuite ta décomposition a priori.

Posté par
bababretonre : Fraction Rationnelle 04-05-08 à 12:45

Merci de la réponse Tigweg,

Alors en procédant comme tu m'as dis j'en reviens à factoriser mon dénominateur au maximum :

1) \frac{X^{4}}{(X^{4}-1)^{2}}= \frac{X^{4}}{(X^{4}-1)(X^{4}-1)}= \frac{X^{4}}{(X^{2}-1)(X^{2}+1)(X^{2}-1)(X^{2}+1)}= \frac{X^{4}}{(X-1)(X+1)(X^{2}+1)(X-1)(X+1)(X^{2}+1)}

sauf erreur.

Apres je me perds un peu sur la méthode si je peux avoir un petit coup de main, je vous remercie

Posté par
Tigweg Correcteurre : Fraction Rationnelle 04-05-08 à 12:53

Avec plaisir, bababreton (j'adore ce pseudo!)

Tu as tout de même le droit de regrouper les facteurs égaux: le dénominateur est donc (X-1)^2(X+1)^2(X^2+1)^2.

D'après la théorie, la partie entière est nulle, et la fraction rationnelle se décompose de façon unique sous la forme


4$\fr A{X-1}+\fr B{(X-1)^2}+\fr C{X+1}+\fr D{(X+1)^2}+\fr{EX+F}{X^2+1}+\fr{GX+H}{(X^2+1)^2}


tu es d'accord?

Posté par
bababretonre : Fraction Rationnelle 04-05-08 à 13:12

Héhé ! Tout à fait d'accord
je me retrouve avec :
\frac{X^{4}}{(X-1)^{2}(X+1)^{2}(X^{2}+1)^{2}}= \frac{A}{X-1}+\frac{B}{(X-1)^{2}}+ \frac{C}{X+1}+ \frac{D}{(X+1)^{2}}+ \frac{EX+F}{X^{2}+1}+ \frac{GX+H}{(X^{2}+1)^{2}}

Mon problème est donc de trouver A,B,C,D,E,F,G et H mais là ou je me perds c'est sur la méthode car :
- je dois passer de l'autre coté dans un premier temps que certains facteurs de mon dénominateur dans ma fraction de base \frac{X^{4}}{(X-1)^{2}(X+1)^{2}(X^{2}+1)^{2}}
- je dois prendre certaines valeurs de X de façon a ce que toutes mes autres inconnues s'annulent et qu'il m'en reste plus qu'une.

J'ai du mal à comprendre qui je dois passer de l'autre côté.

Posté par
Tigweg Correcteurre : Fraction Rationnelle 04-05-08 à 13:29

En fait, il y a des petits "trucs" à connaître.

Dans un premier temps, multiplie par X de chaque côté, considère les fonctions associées et fais tendre x vers l'infini, tu obtiendras une première équation.

Pour trouver G et H, multiplie chaque membre par (X²+1)² puis remplace X par i, puis -i.

De même pour B, multiplie par (X-1)² de chaque côté, puis remplace X par 1.

De même pour D.

Pour les degrés les plus petits, remplace par des valeurs particulières de chaque côté, ou encore effectue des divisions selon les puissances croissantes si tu as vu ça en cours

Posté par
bababretonre : Fraction Rationnelle 04-05-08 à 15:06

Alors la première équation que j'obtiens en multipliant par X et en fesant tendre en l'infini est :
A + C + E + G = 0

"Pour trouver G et H, multiplie chaque membre par (X²+1)² puis remplace X par i, puis -i."

J'ai donc \frac{X^{4}}{(X^{2}-1)^{2}}= \frac{A(X^{2}+1)}{X-1}+\frac{B(X^{2}+1)^{2}}{(X-1)^{2}}+\frac{C(X^{2}+1)^{2}}{X+1}+\frac{D(X^{2}+1)^{2}}{(X+1)^{2}}+(EX+F)(X^{2}+1)+GX+H

En Posant X=i, j'obtiens 4(iG+H)=1
Par contre je ne comprends pas pour X=-i car j'au les dénomnateurs qui deviendront nuls.

Posté par
bababretonre : Fraction Rationnelle 04-05-08 à 15:14

Pour B et D je trouve,
B = D = \frac{1}{16}

Posté par
bababretonre : Fraction Rationnelle 04-05-08 à 15:56

Une ptite aide s'il vous plait, je bloque du moins je comprends pas pourquoi poser X=-i dans :
\frac{X^{4}}{(X^{2}-1)^{2}}= \frac{A(X^{2}+1)}{X-1}+\frac{B(X^{2}+1)^{2}}{(X-1)^{2}}+\frac{C(X^{2}+1)^{2}}{X+1}+\frac{D(X^{2}+1)^{2}}{(X+1)^{2}}+(EX+F)(X^{2}+1)+GX+H
Etant donné que si je pose X=-1 j'aurai en gros :
\frac{1}{0}= \frac{2A}{-i-1}+\frac{4B}{(-i-1)^{2}}+\frac{4C}{-i+1}+\frac{4D}{(-i+1)^{2}}-2Ei+F-Gi+H

ce qui est impossible

Posté par
bababretonre : Fraction Rationnelle 04-05-08 à 15:57

Petite faute désolé, étant donné que si je pose X=-i j'aurai en gros.

Posté par
bababretonre : Fraction Rationnelle 04-05-08 à 20:01

Posté par
carpediemFraction rationnelle 04-05-08 à 23:05

n'oublie pas de simplifier tes fractions et que i² = -1 (donc tu n'as pas 1/0)
tu peux aussi faire X=0

Posté par
Tigweg Correcteurre : Fraction Rationnelle 04-05-08 à 23:25

Voilà

(Salut carpediem!)


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