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Génératrices et familles libres
Bien le bonjour 
Bon j'ai toujorus des problemes avec les familles génératrices ^^ ( j'ai deja compris les libres et lies c'est pas mal direz vous mais bon ^^ )
Alors voila mon exo quasiment fini :
Dans R^4 on considere 3 familles
(F1) = {v1=(1,1,1,1) , v2=(0,1,2,-1) , v3=(1,0,-2,3) , v4=(2,1,0,-1) , v5=(4,3,2,1) }
(F2) = {v1=(1,2,3,4) , v2=(0,1,2,-1) , v3=(3,4,5,16) }
(F3) = {v1=(1,2,3,4) , v2=(0,1,2,-1) , v3=(2,1,0,11) , v4=(3,4,5,14) }
Alors Ces vecteurs forment ils une famille libre ? si oui la completer pour avoir une base de R^4 si non extraire uen famille libre :
F1 : famille lié forcement car composée de 5 vecteurs. J'en ai pris deux puis j'ai montré qu'ils sont liés Cela suffit il ?
F2 : Je trouve que c'est lié et je trouve un 4e vectezur tel que la famille soit lié et composée de 4 vecteurs soit une base
F3 : je n'arrive pas a determienr si elle est liée ou pas
Seconde question : Est ce des familles génératrices ....
Je sais que F2 ne l'est pas car 3 vecteurs seulement mais pour les 2 autres je ne sais pas comment prouver !
Merci d'avance
salut
pour F3 tu peux voir que v1 +v2 +v3 +v4 = 0
donc ta famille est liée
il faut donc retirer (au moins) un vecteur pour avoir une famille libre
pour F2 (je ne comprend pas trop ce que tu écris)
mais si c'est lié il faut retirer un vecteur et en trouver 2 autres pour avoir une base
en général pour compléter on regarde plutôt dans la base canonique pour se simplifier la vie
que veux-tudire par génératrice ?
toute famille de vecteurs libres ou liés génère un espace vectoriel
le problème c'est sa dimension
mais tu as la propriété suivante : n vecteurs libres engendrent un espace de dimension n
donc si tu veux générer 
4 il te faut 4 vecteurs libres
Voici la definition de famille génératrice que j'ai :
Soit E un Kev et F un sev de E
Si il existe une famille finie A telle que F = Vect A alors A est appelle famille génératrice de F
Donc par exemple pour F1 : est ce une famille génératrice ?
Si je fais Vect(F1) alors j'ai ( A1+A3+2A4+4A5),(A1+A2+A4+3A5),(A1+2A2-2A3+2A5,(A1-A2+3A3-A4+A5) avec A1,A2,A3,A4,A5 des scalaires ou je me trompe ?
Pour F1 tes vecteurs sont générateurs de l'ev ... qu'ils engendrent (par combinaison linéaire comme tu l'as écrit)
le pb est de savoir si ce que tu veux c'est générer 4 ou pas
ici tes vecteurs sont en nombre fini donc ils engendrent un ev de dim au plus leur nombre mais il faut savoir combien sont libres pour avoir la dim de ton sous-ev
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