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gros probléme dans exercice
voila plusieur jour que je cherche a demontrer quelque point d'un sujet de partiel des années prédentes mais pas possible de trouver c'est question
on nous de demande de montrer que
A 
B = A+B
(A B)! = A!B!
(A B)^
B=a^b^
si a
^n,b^n,
^n,^n
merci d'avance je bloque vraiment sur c'est question
mika
alors les seuls info qui sont donnée
a=(a1...,an)
(a1...,an)+(b1..,bn)=(a1+b1,...,an+bn)
(a,b)
ab=(a1,...,an,b1,...,bm)
voila moi sa ne ma pas suffit a trouver le resultat
merci d'avance
alors les seuls info qui sont donnée
a=(a1...,an)
(a1...,an)+(b1..,bn)=(a1+b1,...,an+bn)
(a,b)
ab=(a1,...,an,b1,...,bm)Je ne pense pas que l'énoncé soit aussi abrupt. Peux-tu nous donner exactement ce qui est écrit ?
effectivement il y a une partie rappel
notation et rappel
on note ^n l'ensemble =(1,...,n) de dimension n .cet ensemble est naturellement muni d'une addition + qui agit composante par composante
(1,...n)+(1,...,n)=(1+1,...,n+n)
pour 1
in on denotera 
(i)^n le multi indice (0,...,0,1,0,...,0) ou le 1 est situé eu i eme psotion
lalongueur d'un multi indice ^n est =
i
la factorielle d'un multi indice ^n est !=
(i!)
on appelle coefficients du multinomes de rang n les nombres
C=!/!
par convention on posera C=0 si une des composantes de 
^n est strictement negative
si a=(a1,...,an)^n et ^n on definit a^=ai^i
si f=(f1,...,fn) est une collection de n fonction de 
dans ^n on definit f() =fi(i)
on definti l'operation par
^n
^m
^n+m
(a,b)ab =(a1,...,an,b1,....,bm)
voila maintenant c'est bien tous se qu'on a
j'ai oublié un truc
on se propose de demontrer la formule de leibniz generalisee
(f1f2...n)^(k)=Cf()
ou la sommation s'effectue sur tous les multi indices =(1,...,n) dont la longueur vaut K . ici n et k sont des entiers positifs avec n
1
Bon, avec ces compléments, ton premier topic commence à avoir quelque signification.
Comment pouvais-tu imaginer que l'on comprenne tes question sans ces précisions ?
Reprenons :
1°) ab = a+b
Je ne pense pas, il doit y avoir erreur d'énoncé, mais je ne vois pas laquelle.
2°) (ab)! = a!b! : erreur d'énoncé.
Il doit s'agir plutôt de (ab)! = a!b!
3°) Je pense que tu as voulu écrire :
alors pour le premier j'ai oublié les valeurs absolue
le deuxiéme c'est bien se que j'ai ecrit (ab)!=a!b!
pour le troisiéme c'est aussi se que j'ai ecrit (ab)^=a^b^
Merci quand même.
2°) J'ai trouvé : (ab)! = a!b!
Ce n'est pas ce que tu as écrit
3°) L'exposant n'était pas clair, tu aurais dû mettre une parenthèse. En outre le "" ne figure pas dans le second membre.
je comprends votre soucis mais dansl'enoncé il est bien marqué
2)(AB)!=A!B! je dois avouer que cela me gene depuis le debut mais je ne sais pas qui je pourrais contacter a la fac pour me renseigner si le sujet comprend une faute ou pas
vous avez trouvé la demonstration pour A!B! je vous en remercie , j'ai d'ailleurs bien compris la demarche mais vu que je ne sais pas si cela est effectivement une erreur de sujet ou pas je ne peux pas vous eclairer , si vous voulez je peux vous envoyer le sujet complet ( il fau tjuste me donner uen adresse )
pour le 3) le probléme est quasi le meme je ne comprend pas non plus l'absence du dans le resultat
En cliquant sur mon image à côté de mon nom, tu tombes sur mes coordonnées.
Ton sujet m'intéresse car les notations sont très importantes et je commence à deviner comment on va les utiliser dans les polynômes de plusieurs variables.
Bonjour.
J'ai commencé à retravailler ton sujet. Avec l'énoncé complet, c'est quand même moins difficile.
Avec les notations appropriées, l'objectif de cette première partie est de généraliser la formule de Leibnitz classique vue en classe de première, donnant la dérivée d'ordre k d'un produit de deux fonctions :
1. Question préliminaire.
(a). On applique les notations.
(b) On suppose n = 2.
Ne pas oublier que 1 et 2 sont des entiers.
Si l'un d'entre eux est < 0, l'énoncé précise que les termes valent 0, donc, dans ce cas l'égalité est vraie.
Sinon, c'est la définition des combinaisons classiques :
(c) On suppose encore n = 2.
Là encore, on manipule des entiers et si certains sont strictement négatifs, cela donne des résultats nuls.
Si ces entiers sont supérieurs ou égaux à 0, le résultat classique des combinaisons :
2. Cas particuliers.
(a). n = 1, k quelconque.
On a alors : = (\alpha1) = (k) et f = (f1) = (f) : séquences de longueur 1. Donc,
La formule est vraie pour n = 1, k quelconque.
(b). n quelconque, k = 0.
Il s'agit donc de voir si la formule proposée reflète le cas :
On peut donc bien écrire que :
La formule est vraie pour k = 0, n quelconque.
(c). n quelconque, k = 1.
On sait que :
La formule donnée dans l'énoncé donne-t-elle le même résultat ?
Comme k = 1, = (0,0,...,0,1,0,...,0) et il est facile de voir que C = 1
On a donc bien :
3. Etude du cas n = 2.
On a donc f = (f1,f2) et = (1,2) avec || = k.
Pour abréger les écritures, je pose :
= (p,k-p), où p entier compris entre 0 et k
f1 = f et f2 = g
On a vu plus haut que pour n = 2, les valeurs k = 0 et k = 1 donnent bien la formule de l'énoncé.
Procédons par récurrence. Nous supposons donc la formule exacte au rang k.
Avec mes notations allégées, elle donne :
Maintenant, passons au rang k+1 :
Nous pouvons appliquer la formule de récurrence à l'ordre k pour chacun de ces deux termes :
Dans la première somme, on effectue une translation d'indices en posant P = p+1.
On peut ensuite regrouper les termes des deux sommes et utiliser :
En incluant les deux termes extrèmes :
La formule est vraie au rang k+1.
Je t'envoie ce premier corrigé.
Je verrai la dernière question du problème 1 plus tard car c'est très long à écrire.
Je corrige mes erreurs car j'avais mal interprété les formules :
1. Question préliminaire.
(a). On applique les notations.
(b) On suppose n = 2.
Ne pas oublier que 1 et 2 sont des entiers.
Si l'un d'entre eux est < 0, l'énoncé précise que les termes valent 0, donc, dans ce cas l'égalité est vraie.
Sinon, c'est la définition des combinaisons classiques :
(c) On suppose encore n = 2.
Là encore, on manipule des entiers et si certains sont strictement négatifs, cela donne des résultats nuls.
Si ces entiers sont supérieurs ou égaux à 0, le résultat classique des combinaisons :
2. Cas particuliers.
(a). n = 1, k quelconque.
On a alors : = (1) = (k) et f = (f1) = (f) : séquences de longueur 1. Donc,
La formule est vraie pour n = 1, k quelconque.
(b). n quelconque, k = 0.
Il s'agit donc de voir si la formule proposée reflète le cas :
On peut donc bien écrire que :
La formule est vraie pour k = 0, n quelconque.
(c). n quelconque, k = 1.
On sait que :
La formule donnée dans l'énoncé donne-t-elle le même résultat ?
Comme k = 1, = (0,0,...,0,1,0,...,0) et il est facile de voir que C = 1
On a donc bien :
3. Etude du cas n = 2.
On a donc f = (f1,f2) et = (1,2) avec || = k.
Pour abréger les écritures, je pose :
= (p,k-p), où p entier compris entre 0 et k
f1 = f et f2 = g
On a vu plus haut que pour n = 2, les valeurs k = 0 et k = 1 donnent bien la formule de l'énoncé.
Procédons par récurrence. Nous supposons donc la formule exacte au rang k.
Avec mes notations allégées, elle donne :
Maintenant, passons au rang k+1 :
Nous pouvons appliquer la formule de récurrence à l'ordre k pour chacun de ces deux termes :
Dans la première somme, on effectue une translation d'indices en posant P = p+1.
On peut ensuite regrouper les termes des deux sommes et utiliser :
En incluant les deux termes extrèmes :
La formule est vraie au rang k+1.
4. Etude du cas n quelconque.
On a déjà vu dans la question 2°) que la formule est vraie pour tout k lorsque n = 1, et dans la question 3°) que la formule est vraie pour tout k lorsque n = 2
On la suppose vraie au rang n : pour tout k :
Passons au rang n+1.
Grace à la formule obtenue dans la question 3°) pour n = 2 :
La récurrence est confirmée.
Conclusion : pour tout n, pour tout k :
Voilà, le premier problème est complet avec les corrections qui s'imposaient par rapport au précédent topic.
1. Dérivées partielles.
est un polynôme homogène de degré total k. Donc :
a) Si p > k et :
b) Si p < k et : les termes contiennent a1 , ... , an, donc :
c) Si p = k et : toutes les puissances sont éliminées et
2. Formule de Taylor.
Cela signifie que seul le dernier terme de la formule de Taylor pour les polynômes de n variables sera non nul :
En reprenant les notations de l'énoncé :
3. Applications.
a). Dans le développement de , chaque monôme du type :
appar
Raté ! fausse manoeuvre. Je reprends :
3. Applications
a). dans le développement de , chaque monôme du type
apparaît un nombre entier de fois. Donc :
Ce qui au départ ne semble pas évident :
Si = (5,8,4), est un entier.
b). Il suffit (!) d'employer le formule de la question 1°) et d'écrire que :
et de développer, puis d'identifier. Mais l'écriture est fastidieuse.
Pour le 1°) du problème 2, commence par faire un essai avec F(x,y) = (x+y)3 en cherchant les dérivées partielles
ok oui on obtient un truc de la form k()^k-1
mais encore un truc pour se genre de reponse la réaction est suffisante ou je dois plus detailler la recherche de la derivée
Je ne pense pas que tu sois obligé(e) de détailler davantage, surtout que visiblement le cours sur les dérivées partielles et la formule de Taylor a été fait.
f est la fonction définie sur ]2; +∞[ par : f (x)= (8-x)/(2x-4)
C est la courbe représentant f dans un repère orthonormal ( o ; i ; j )
u est la fonction définie sur ]0; +∞[ par : u(x) = 3/x', et H est la courbe représentant u dans le repère précédent.
1. Démontrer que pour tout x ∈ ]2; +∞[, la différence f (x)−u(x −2) est constante. En déduire que C est l'image de H par une translation préciser.
3. Déterminer l'image d1 de l'axe des abscisses et l'image d2 de l'axe des ordonnées par
cette translation.
4. Tracer les droites d1 et d2 puis la courbe C .
pourriez vous m'aider pour la question 3 et 4 j'ai vrément de mal a trouvé la reponse
merci beaucoup, d'avance. désolé pour le dérangement
Bonsoir bouril30
Si tu veux de l'aide pour une question tu dois ouvrir un "nouveau topic" et ne pas venir t'intercaler dans un sujet qui ne t'appartient pas et qui n'a rien à voir avec ce que tu demandes.
Merci d'en tenir compte.
Je t'envoie le début du problème 3. Je l'ai terminé entièrement, mais je recopierai par morceaux, c'est tellement long !
1. Etude de fonction.
a). définit une fonction polynôme de degré 2n.
Bien voir que : = et que P(0) = P(
) = 0.
0 et sont deux racines d'ordre n chacune. De plus, Pn(x) est positif sur I = [0,]
Le calcul de la dérivée de Pn(x) est simple, à condition de factoriser :
L'avant dernière expression montre que cette dérivée est du signe de p - 2qx sur I.
¤ 0 x /2 
Pn croissante
¤ /2 x Pn décroissante
On en déduit que le maximum sur I est atteint pour x = /2. Un calcul élémentaire donne :
n =
b). n se présente sous la forme du terme général de la série définissant
Donc, nécessairement, n tend vers 0 lorsque n tend vers l'infini.
On en déduit facilement que :
Si = 
, l'intégrale porte sur l'intervalle [0,] sur lequel Pn(x) et sin(x) sont positifs. Donc :
Si = , In > 0.
2.Dérivée kième
C'est vrai que la question est un peu déroutante au départ. Le mieux dans ces situations, est de chercher quelque exemples.
La première question nous a donné :
En posant X1 = Pn-1(x) et Z = P'1(x), on aura :
n,1(X1,Z) = X1.Z
On peut calculer Pn"(x), cela donne :
P"n = Pn-2.P'1 - 2q.Pn-1
Donc :
n,2(X1,X2,Z) = X2.Z² - 2q.X1
On peut continuer ainsi et construire à la main les n,k.
On peut même s'offrir une petite récurrence.
Les deux premiers exemples fournissent l'initialisation pour k = 1 et k = 2, pour tout n.
Alors :
Utilisons la formule de Leibnitz pour un produit de deux termes en remarquant que (P'1)" = 0
Ce qui donne :
Cette relation de récurrence fournit l'existence pour tout k du polynôme n,k à coefficients entiers. On pourrait s'en tenir là. Malheureusement, ils demandent la forme explicite de n,k et j'ai trouvé un moyen qui me semble un peu long. Peut-être existe-t-il une voie plus rapide ?
Je poste ce message avant de créer une fausse manoeuvre et de tout faire disparaître.
Maintenant, cherchohs "explicitement" n,k.
Par référence au problème 1, j'ai :
En appliquant le résultat du problème 1 :
Comme P1 = x(p-qx) on a : (P1)' = p-2qx, (P1)" = -2q et toutes les dérivées d'ordres supérieurs sont nulles.
Cela signifie que les monomes non nuls de (1) ne contiennent que des i valant 0, 1, 2.
Chaque n-uplet (1,...,n) correspondant contiendra exclusivement des 0, des 1 et des 2. Appelons n0, n1 et n2 le nombre de 0, de 1 et de 2 d'un tel n-uplet.
Alors, on a les relations fondamentales :
Maintenant, dans tous les regroupons les termes d'ordres 0, 1 , 2.
Comme il y a choix de 0, puis
choix de 1, puis
choix de deux, ce regroupement donnera :
Ainsi :
Mais
Finalement
comme k 1 et n1 + 2n2 = k, n1 et n2 ne peuvent être nuls tous deux donc, n0 = n - n1 - n2 n0 < n
Le système écrit sous le 
donne plus précisément : 1 n - n0 k.
On peut même expliciter :
Comme Pn est de degré 2n, on trouvera 0 en dérivant à un ordre k > 2n, on a donc 1 k 2n
En posant p = n - n0,
n1 et n2 étant entiers, cela entraine que
on peut enfin mettre en évidence ce fameux polynôme :
Exemple pour k = 5 :
J'ai obtenu le même résultat par le calcul direct. (ouf!)
Je poste cette partie, la fin arrivera plus tard.
3. Etude de l'intégrale
On suppose donc que est rationnel, = = p/q
Avant de faire des intégrations successives de In, cherchons une formule simple pour les primitives successives de sin(x).
Une primitive de sin(x) est : -cos(x) = -sin(x+) : on change de signe et on ajoute
Remarquons également que Pn et toutes ses dérivées jusqu'à l'ordre 2n-1 s'annulent en 0 et en = .
Intéressant : on ajoute et on dérive Pn
On démontre facilement par récurrence que cette remarque perdure :
On peut ainsi aller jusqu'à k = 2n car alors (Pn)(2n) sera une constante.
On peut même évaluer cette constante en utilisant la formule de dérivation encadrée dans le précédent topic. Il suffit de prendre k = 2n. Dans ce cas, il reste un seul terme :
Donc :
Ce résultat est bien un entier.
4. Irrationnalité de .
Si était rationnel, le calcul précédent montre que In serait un entier et ne pourrait donc pas tendre vers 0 comme il l'a été prouvé antérieurement.
Conclusion : est irrationnel.
Je suis de ton avis.
Merci de m'avoir confié un sujet aussi particulier. Il a bien occupé mes journées !
Bonne soirée
Bravo Raymond !!
Je pense que sans vous mon camarade de promo n'aurais jamais pu se la jouer grand seigneur des maths... j'espère pour lui que notre prof n'auras pas pousser aussi loin dans ses recherches sur internet, car oui le sujet en question est un devoir maison a rendre et noté pour le partiel de janvier... "Mika67100" je te balancerais pas c'est pas mon genre mais si tu veux pas avoir d'ennui cesse de te prendre pour un demi dieu et reviens sur terre peut être même que t'arrivera a te faire des amis...
En tout cas Raymond vous confirmé au moins les résultats que notre groupe de travail avons trouvé, sa fait toujours plaisir ^^
Une petite précision : pour trouver les réponses aux différentes questions, je n'ai pas fait appel à internet. Je me suis débrouillé tout seul. C'est d'ailleurs la raison pour laquelle ma première page de corrections est entachée d'erreurs que j'ai corrigées dans un autre topic.
Par ailleurs, il est possible que certaines questions puissent être traitées plus simplement ou avec plus de rigueur. Je ne garantis pas la totale exactitude de mon corrigé.
Cordialement.
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