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Groupe
Bonjour,
Je suppose que ça doit être très rapide à démontrer mais je ne vois pas trop ... lol
Soit (G,.) et e élément neutre de G.
Montrer que ce groupe est abélien si pour tout x de G x2=e.
Montrer que cette propriété est vérifiée si G a un nombre pair d'élément.
Merci d'avance
Dcamd
Bonjour,
Calcule (ab)².
La propriété 2 est fausse, c'est sans doute la reciproque qu'il faut montrer si cette propriété est vérifée alors G a un nombre pair d'elements (s'il est fini)
Salut,
suffit de voir que (xy)²=x²y²=xyxy puis tu t'arranges en multipliant à droite puis à gauche pour ce qui faut...en gardant à l'esprit que tout élément est son propre inverse.
Sauf erreur.
(ab)²= a²x b² = e² ?
Pour la deuxième, en fait ç'est exactement :
Supposons que G soit un groupe fini d'ordre pair. Montrer qu'il existe un élément x de G, autre que e, tel que x² = e
(c'est toujours faux ?)
Ben (ab)²=1=abab donc ba=ab (car a=a^{-1} et b=b^{-1}).
Pour la deuxième propriété c'est bien different que ce que tu annoncais au départ.
C'est une conséquence des théorèmes de Sylow (ou d'un lemme de cauchy).
Non, c'est plus simple que ca tu obtient abab=1, multiplie a droite par a et a gauche par b tu trouves
a²bab²=ab comme a²=b²=1, tu as ba=ab
Tu n'a pas vu les théorèmes de Sylow?
Sans cet outil (ou qqch qui y ressemble ca va être dur a démontrer, on peut bien sur redemontrer les théorèmes de Sylow, ils ne sont pas durs, mais je doute que ce soit le but ici)
Ah Ok. Merci. Mais abab = 1, ça découle directement de l'hypothèse ? Comme quoi (ab) appartient à G donc (ab)²= 1, élément neutre de la multiplication.
Ben oui ab est un élément de G donc son carré vaut 1, or son carré c'est abab (attention en general tu n'a pas (ab)²=a²b²)
Ca sert à rien de te renseigner sur ces théorèmes, s'ils ne sont pas dans ton cours c'est que tu n'en a pas théoriquement besoin (enfin tu peux bien sur te renseigner si ca t'interesse, surtout qu'ils repondent à une question légitime...y a til une répiroque au théorème de Lagrange, la réponse est non en general mais ils fournissent une reciproque partielle)
Sinon on peut adapter la démo pour demontrer ce truc, mais ce serait un peu artificiel.
Es tu familier avec les actions de groupe?
ON apelle action (ensembliste) d'un groupe de G sur un ensemble E, un morphisme de G dans Bij(E) le groupe des bijections de E.
En d'autres termes c'est se donner pour tout couple (g,e) de GxE un element g.e de E assujetti aux conditions (gh).e=g.(h.e) et 1.e=e
En faisant agir Z/2Z sur le groupe GxG on peut démontrer ton résultat
J'ai une petite définition qui s'appelle produits de groupes. Ca à l'air de se rapprocher de ce que vous me présentez.
(un morphisme de G dans Bij(E) : ça veut dire que tout élément de G est associé à un unique élément de E ?)
T'es en quelle année? L1? Si c'est le cas, je pense vraiment que cet exo n'est pas de ton niveau?
Bij(E) est le groupe des bijections de E, c'est a dire des fonctions f:E->E, bijectives.
Il n'y a pas vraiment de moyen de montrer ça sans faire appels aux actions de groupe.
L'ennuie c'est deja ca ne marche que parce que 2 est premier et c'est spécifique...il y a des groupes d'ordre 4 sans element d'ordre 4 (par exemple Z/2ZxZ/2Z)...je ne vois pas comment on peut faire une démo plus elementaire de ce truc qu'en faisant agir Z/2Z sur le sous ensemble de GxG des elements (g,h) tels que gh=1. On peut la faire si tu veux mais... ca risque de te faire subir un peu...
Est ce que tu a vu le théorème de lagrange?
Sinon qqch de beaucoup plus facile serait de prouver que si pour tout g de G g²=1 et que G est do'rodre fini alors G est d'ordre pair... Ca m'etonne d'ailleurs que ce ne soit pas ca ta question.
Je suis en L2. J'ai bien vu le théorème de Lagrange. Là, c'est l'énoncé exact de ma question. (c'est dans le cours mais non corrigé)
Apparemment, les actions de groupes sont dans mon cours. (si c'est bien (x1, · · · , xn).(y1, · · · , yn) = (x1y1, · · · , xnyn) et x = (x1, · · · , xn), alors x−1 = (x−1 , · · · , x−1
n ) et (x1, · · · , xn) + (y1, · · · , yn) = (x1 + y1, · · · , xn + yn).
Ce qui m'avait posé problème c'est que l'on prenait un élément de G et Bij(E). (J'ai du mal à me représenter l'application...)
J'ai cherché, non je n'ai pas vu les actions de groupes.
Mais par contre, le théorème de Lagrange, c'est OK.
Le cardinal du sous-groupe H de G divise le cardinal de l'ensemble G.
Non, non ca c'est un produit de groupe, ce n'est pas pareil qu'une action de groupe.
Si tu veux prouver le resultat absolument considère l'action de Z/2 sur S, le sous ensemble de GxG des elements g,h tel que gh=1 et défini une action de Z/2 par x.(g_0,g_1)=(g_(0+x),g_(1+x)) (ou l'adition est modulo 2) c'est a dire 0.(g_0,g_1)=(g_0,g_1) et 1.(g_0,g_1)=(g_1,g_0).
Les orbites des elements de S ont 1 ou 2 elements. Donc la formule des classes assure que |S|=k+2n (ou k est le nombre d'élement fixe par Z/2Z), or |S| est égal au cardinal de G puisque une fois que g est fixé il existe une unique h tel que gh=1. Donc |S| est pair et donc k aussi et vaut au moins 1 (a cause du neutre de G), il vaut donc au moins 2, il existe donc g différent du neutre tel que g²=1.
Ok pour le théo de lagrange, on pourrait s'en servir pour dire que x^|G|=1 (|X| désigne le cardinal de X), donc il existe k tel que x^(2k)=1, a ce moment la y=x^k verfie bien y²=1, le probleme c'est qu'on ne soit pas sur que y^k ne soit pas deja égal à 1, et le pire c'est que ca peut etre le cas pour tout element x.
Merci Beaucoup Rodrigo pour le temps que tu m'as accordé. C'est vrai que la question 2 est assez éloignée de ce que je sais faire à présent. (Mais je n'abandonne pas lol)
Merci ! 
Oui meme avec lagrange, je t'avais demandé si tu connaissais ce théoreme pour savoir ou tu en étais sur les groupes, mais il n'est pas d'un grande utilité puisque justement on veut en prouver une sorte de reciproque.
Je maintiens que la démo que je t'ai donné est la plus simple possible.
Apres tu peux tjs demander a ton prof s'il en connais une plus simple...si c'est le vas, je serai ravi de voir comment il fait.
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