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Groupe abélien fini
Bonjour à tous,
Me voici avec un probleme d'algèbre portant sur les groupes abéliens de type fini, facteurs invariants.
Soient G un groupe abélien fini d'ordre pn avec p premier.
On note le sous groupe de G défini par
.
Soit H un sous groupe de G.
On notera , respectivement
les facteurs invariants de G, respectivement de H.
1) Montrer que avec hi le nombre de j tels que
.
2) Montrer que .
3) Montrer que est isomorphe à un sous groupe de
.
Mes propositions:
1) G est d'ordre pn donc tout sous groupe de G est d'ordre fini aussi d'apres le théoreme de Lagrange.
Or sont des sous groupes de G, donc ils sont finis.
On a .
Les groupes sont finis donc leur quotient aussi, ceci implique que l'ordre de
est égale au produit des facteurs invariants de
dans
?
Apres, je ne vois pas comment montrer que le produit des facteurs invariants est bien hi...
2) Ok
3) Je ne vois pas comment partir ici.
Je vous remercie pour l'aide que vous pourrez m'apporter 
Bonjour pour le 1, ben tu peux écrire explicitement ton sous groupe, sous la forme d'un produit de groupe cycliques....trouver la p^k-torsion devient alors tres simple.
Pour la 3) il est clair que H[p^k] s'envoit de manière naturelle dans G[p^k]...
Bonjour Rodrigo,
En fait mon cours n'est pas beaucoup avancé, on s'est arreté à la définition du groupe de torsion. Au mieux je sais qu'un groupe G abélien est fini ssi G est de torsion.
1)Je ne suis pas sur de savoir comment décomposer mon sous groupe, je ne sais pas quoi prendre pour mes facteurs invariants.
Par contre on peut dire que
2) J'avais aussi pensé à faire un graph du type :
Ou 
1 et 2 sont les surjections canoniques et i l'injection.
La encore, je dois louper quelques choses parce que je ne vois pas l'isomorphisme caché ^^
Oui décompose de la sorte....maintenant cherche la p^k torsion dans ton produit de groupe cyclique si p^k(a_1,...,a_n)=0, c'est que...
Pour la suite ben oui H[p^i] s'envoit dans le quotient...le morphisme se factorise par la flèche du noyau.
Désolé, je voulais écrire que 2 : .
Je ne sais pas si c'est ce que tu voulais dire mais si on nomme , on a
isomorphe à
. Cela ne nous apporte rien non ?
Qu'appelles tu la p^k torsion ?
Je suis désolé mais je ne vois pas non plus ce que tu attends avec p^k(a_1,...,a_n)=0...
Ben la p^k torsion c'est les elements qui verifient p^k.x=0
Pour les elements qui verifient p^k(a_1,...,a_n)=0 ca te fait des equation (relativement simples!) a resoudre dans un Z/p^jZ.
Ensuite tu as une fleche naturelle de H[p^i] dans G[p^i]/G[p^{i+1}], cherche le noyau.
Le noyau c'est si je ne me trompe pas.
Ce qui veut dire qu'on a simplement un homomorphisme de groupe de dans
.
Pour l'autre, ca va dépendre de k et de j. Si k
j, les éléments qui vérifient ca sont ceux du groupe Z/p^jZ non ? Et si k
j, ceux de Z/p^{j-k}Z ?
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