Bonjour,
Il te faut lister tous les sous groupes de A4.
Il y en a d'ordre a priori 2,3,4,6 et 12.

Bon ceux d'ordre 12 ben y en a qu'un c'est A4. Ceux d'ordre 2 ce sont des Z/2 donc cyclique engendrés par les produits de deux tranpositions au support disjoints. Ceux d'ordre 3 bon ben ce sont des Z/3. Ils sont cycliques la encore, ce sont les 3-cycles (ils sont bien de signature paire ) et sont tous conjugues entre eux. En effet

Ceux d'ordre 4, ce sont soit des Z/2xZ/2, soit des Z/4.
Les Z/4, cyclique engendré par un élément d'ordre 4. Il n'y a que les 4 cycles (attention ici 4 n'est pas premier donc un groupe cyclique d'ordre 4 n'est pas necessairement engendré par un 4-cycle), cela se remarque en examinant la decomposition en produit de cycles. Mais ils sont impairs. Donc ce sont tous des Z/2xZ/2 (engendré par 2 produit de 2 transpositions a support disjoints) Comme ce sont des 2-sylow tous les sous groupes d'ordre 4 sont de cette forme et ils sont tous conjugués.

Enfin reste ceux d'ordre 6. Ce sont soit des Z/6 soit des Z/3xZ/2.
Bon ce ne peut etre des Z/6, car tous les elements de A4 sont au plus d'ordre 4. Ils sont a priori engendré par un 3 cycle et un produit de 2 tranposition disjointes. On peut supposer que le 3 cycle est (1,2,3). Il faut etudier les 3 cas... Il devrait y avoir 2 classe de conjugaison...

Heu apres re verification, tu ne devrais pas en trouver d'ordre 6.

merci beaucoup de ta réponse sa m'éclaire vraiment et je commence comprend ce genre d'exercice.

j'ai une autre question^^

A4 est bien un sous groupe qui possède 12 éléments? (Comme on a calculé son cardinal).

Avec ta méthode, tu es sur qu'il y a des Z/2xZ/2 ?
L'ordre 12. C'est A4=l'identité sa en fait 1
L'ordre 2. Les Z/2 , produit de deux transpositions a support disjoint,
moi j'en dénombre 3 ici.
L'ordre 3, les 3 cycles, j'en ai denombré 8.

Ce qui me fais déjà 12?? je ne suis pas sur qu'il existe des Z/2xZ/2 engendré par 2 produits de 2 transpositions.

Après peut etre que je fais fausse route

tu es sur qu'il y a des Z/2xZ/2 ?

Oui c'est le ss groupe des 3 produits de 2 transpositions avec l'identité cela fait 4 élément d'ordre 2.
c'est le seul ss groupe d'ordre 4 non cyclique isomorphe à Z/2xZ/2de
le seul ss groupe d'ordre 4 de

Dans il y a 8 3-cycles et 3 double-transpositions
et 1 identité cela fait bien 12

Rodrigo a oublié les trois sous groupes d'ordre 8
isomorphe au diédral groupe des isométries d'un carré. Ils sont engendré par un cycle d'ordre 4 correspondant à une rotation en géométrie et une transposition correspondant à une symétrie en géométrie

il y a aussi 3 ss groupe cyclique engendré par un 4-cycle

Dans le livre de J.P.Escofier Théorie de Galois (disponible ds toutes les bibliothèques) tu trouves dans le dernier chapitre (ch 16) une étude détaillé du groupe et de ses ss-groupes ce qui permet de donner des algorithmes de résolution des équations de degré 4

mon dernier message concerne les sous-groupes de
Dans il y en a beaucoup moins

le ss groupe des 3 produits de 2 transpositions avec l'identité

les sous groupes engendré par des 3-cycles il y doit y en avoir 4, autant que de parties à 3 éléments.

dans mais pas dans , les sous groupes d'ordre 6 isomorphe au diédral groupe des isométries du triangle, engendrés par un 3cycles et une transposition de deux éléments du 3 cycle
il doit y en avoir 4

A oui je comprend, j'ai fais une confusion entre sous groupe et nombre d'elements de A4.

Effectivement il y a bien des Z/2xZ/2, oui c'est assez logique tu as raison rodrigo.

Apaugam, merci de m'aider tous d'abord,

Oui je pense que dans A4 ils ne sont pas tous conjugués, sinon sa ne ferai pas l'objet d'une question.
Le problème est que j'ai du mal a les reconnaitre si ils sont conjugués ou pas.

Dans ton exemple ( et tu fais bien de le poser car je suis assailli d'un gros doute)
(1 2 3) et (1 2 4) peuvent ils etre considéré comme isomorphe?

quant a ta question je dirai qu'il ne sont pas conjugués.

oui ils sont isomorphe tous les deux à Z/3Z car cyclique d'ordre 3

Dans ton exemple, ils ne sont pas conjugués je dirai.

Mais Dans l'exercice, comment je l'ai reconnais les sous groupe non conjugués entre eux??

tu peux conjuguer un 3 cycle (1,2,3) par tous (8) les 3 cycles et les (4) doubles transpositions. c'est assez vite fait et voir ce que tu obtiens

Donc dans l'exercice, lesquel ne sont pas conjugués?

Ceux d'ordre 2 et 3 sont tous conjugués si je ne me trompe pas.
Ceux d'ordre 4, dans les Z/2xZ/2 , ils sont conjugués aussi normalement.
                         Z/4, ils sont impairs
ordre 6: Z/6 impossible dans A4 les element sont au plus d'ordre 4
        
    Z/3 xZ/2 : ceux la je n'en suis pas sûr, ils ne doivent pas tous etre conjugué je pense ceux la.
ordre 8: y'en a pas dans A4
ordre 12: c'est lui meme donc pas de probleme

Dis moi si j'en oublie,
peut tu m'aider a éclairer le cas Z/3xZ/2

Heu en fait j'ai dit quelques betises sur la conjuguaison...
Je confirme que les Z/2xZ/2 sont tous conjugués car ce sont des 2-sylow (cela signifie que ce sont des 2-groupes d'ordre maximal). On peut le verifier a la main.

Tout d'abord ce n'est pas parce que deux groupes sont isomorphe qu'ils sont conjugués. Dans S2 par exemple une transposition et un produit de deux transposition a supp disjoint (une double transposition) engendrent tous les 2 un Z/2 et qui sont isomorphe mais non conjugués.

Pour les Z/2, bon il y en a 3, il est facile de voir que si l'on note c1=(2,3,4) et c2=(2,4,3) alors c1(1,2)(3,4)c1^{-1}=(1,3)(2,4) et c2(1,2)(3,4)c2^{-1}=(1,4)(2,3). Ils sont bien conjugués.

Maintenant les 3-cycles effectivement il y a deux classes de conjuguaison. Ce sont (123)(124)(134)(234) (celle qui sont ordonnés) et le reste.

Oui deux groupes isomorphes ne sont pas forcement conjugués je m'en rend bien compte ( et ton exemple l'illustre bien).

La deuxieme question de l'exercice consiste justement a trouvé ceux qui sont isomorphe mais NON conjugués.

Comme je l'ai dis avant je pense qu'on les trouve dans l'ordre 6 pour Z/3xZ/2 mais je ne sais pas comment les mettre en évidence.

Je pense que avec tous nos postes ont a repondu a la question 1 non?

Ben je t'ai dit qu'il n'y avait pas d'ordre, verfie le regrade le groupe engendré par le produit d'un 3 cycle et d'un double transposition.

Il y a deux classe de conjugaisos pour les Z/3

oui effectivement apres en avoir ecrit quelque un il n'y a pas d'ordre 6.

Ah,je n'avais pas vu Z/3 a donc 2 classes de conjugaisons:
celles qui sont ordonné, elles sont conjugués.
Et le reste ne l'ai pas si j'ai bien compris?

Ben le reste est conjugué entre eux, mais pas a la première classe. Il ya deux classes de conjugaison.

alors voila je pense ma dernière question.
C3a ={(123) (124) (134) (234)}  la premiere classe
C3b ={(132) (142) (143) (243)} la deuxieme classe

C'est deux sous-groupe sont bien isomorphes et non conjugués entre eux?

Attention ce ne sont pas les sous groupes en question!! Juste les classes de conjgaison des éléments. Ensuite faut s'interesser au groupes qu'ils engendre et verfier si oui ou non ils sont conjugués. Ce que tu sais deja c'est que les groupes engendré par les elements d'une meme classe de conjugaison sont conjugués, mainitenant il te suffit de de remarquer que (132)=(123)² et tu vois qu'il n'y a qu'une seule classe de conjugaison pour les groupes d'ordre 3

pour les groupes d'ordre 3, donc ils sont tous conjugués entre eux car il n'y a qu'un seul classe de conjugaison si je te suis bien.

mais alors il n'y a pas de sous groupe isomorphes et non conjugué?

Non il y a bien deux classes de conjugaisons pour les elements mais tous les sous groupe d'ordre 3 sont conjugués.

Oui tous les groupes isomorphes sont conjugués dans A4

très bien^^, merci beaucoup pour votre aide.