Bonjour,

utilise que le groupe <a> est distingué dans G, ainsi bab^-1 =1,a,a² ou a^3.

Puis utilise que a est d'ordre 4.

merci pour l'indication désolé pour les deux questions je viens de lire qu'il fallait pas poster plusieurs questions maintenant merci encore

Bonjour

Si, si tu as eu raison de poster ces questions relatives au même problème dans le même topic.

Salut Cauchy

Salut Camélia

Bonsoir

Je me permets de remonter ce sujet car je travaille sur le même exercice et j'ai beaucoup de mal (comme dans cette matière en général...)

Pour la question (1) pour montrer qu'il existe b G tel que <a,b> = G il suffit de dire que a est d'ordre 4 et G d'ordre 8 donc il existe b d'ordre 2 tel que <a,b> = G ?? (je ne pense pas que c'est ça vu que dans (2) on demande de montrer que b est d'ordre 2...)
Ensuite on peut dire que <a> est normal dans G car a G ?
Pour le reste j'ai compris.

Ensuite pour la question (2) je ne vois pas comment faire...

Je rajoute la dernière question de l'exo:

(3) On suppose ba=a³b. Démontrer qu'alors b²=1 ou b²=a², et que:
- si b²=1, le groupe G est isomorphe à D4 (groupe des isométries du carrée)
- si b²=a², le groupe G est isomorphe à H (groupe des quaternions)

Pour montrer la première partie de la question on arrive à b²a²=a²b² ce qui implique que b²=1 ou b²=a².
Ensuite pour montrer les isomorphismes je ne sais pas...

Merci pour votre aide!

Salut,

pour montrer qu'il existe tel que , il suffit de prendre un , cet élément sera focément d'ordre , puis montrer que les éléments suivants sont deux à deux distincts:

Pour la 2, une fois la commutativité démontrée, il me semble que le reste découle de la proposition 1.1.5.4 du cours,

est normal dans car ,

pour la (3) il faut voir quelle relations caractérisent ces deux groupes.

Merci pour tes indications.
Je vois bien un exercice de ce style au partiel. En tout cas j'y compte dessus parce que si le deuxième exo est sur le corps des quaternions...

c'est vrai en plus cet exercice n'a pas été corrigé dans les deux groupes je crois

Salut romu,

salut Cauchy,

oui le cours est en latex, projeté en amphi

Carrément la grande classe, la proposition 1.1.5.4 c'est assez énervant quand on lit un bouquin où l'auteur écrit des trucs comme cela alors qu'il appelle un résultat simple qu'il aurait pu nommer autrement.

oui c'est vrai, enfin après je me suis peut être trompé, je vois pas comment l'appeler c'est une "relation somme directe/produit direct".

les deux sous groupes cycliques <a> et <b> sont en "somme directe" (ils disent comme ça dans wiki) dans G

et donc isomorphe au produit de ces groupes cycliques (par cette proposition),

a est d'ordre 4 et G est d'ordre 8, donc b ne peut être que d'ordre 2 et et

Ok je vois de quoi tu parles maintenant, enfin je disais ça parce que je trouve ça désagréable quand c'est employé à outrance genre par 3.5.5.1 le groupe est compact donc fini par 1.5.4.8

lol, je vois de quoi tu parles les deux premières années je suivais surtout les cours sur le Dixmier qui fait ça à outrance, c'est vrai que c'est pas évident,
il fallait être motivé à faire des allers retours dans le bouquin pour suivre une démo

Au bout d'un moment on va super vite pour faire des aller retours

Calcul infinitésimal de Dieudonné est pas mal dans le genre non plus

j'ai pas osé utiliser ce bouquin encore, ce qu'il y avait dans la table des matières a l'air si éloigné de ce qu'on fait

d'ailleurs, tu connaitrais un bouquin qui traite les notions de hahn-banach sous forme géométrique, analytique, les intégrales de Stieljes, l'équicontinuité. En analyse fonctionnelle, on a un cours assez chaotique

Il est pas très digeste, assez technique et n'utilise pas l'intégrale de Lebesgue donc pas de convergence dominée et des démos à coups d'epsilons(mais il est bien sur certains points pas trop traités ailleurs).

Pour Hahn-Banach c'est traité dans le premier chapitre du livre de Haim Brezis(très bon bouquin d'analyse fonctionnelle par contre il y a pas Ascoli et l'équicontinuité dedans c'est en prérequis), mais il doit y avoir cela dans les livres de géométrie aussi genre le livre de Berger.

Les intégrales de Stieljes je connais que de nom et donc pour Ascoli il y a cela dans Analyse pour l'agreg de Queffelec et Zuily avec des applications je crois aux équadiff ou dans le livre de Hirsch Lacombe d'analyse fonctionnelle.

ok, Ascoli et l'équicontinuité j'avais déjà vu dans le Choquet, il la traite vite fait,
mais justement il me manquait au niveau des applications, Hahn-Banach j'ai pas trop compris la démo de mon prof (il fait un raisonnement par l'absurde, mais je saisis pas où est sa contradiction), je vais chercher à la BU ces ouvrages, merci

Dans le Brezis aussi il utilise Ascoli en applications desfois(mais il refait pas la démo).

ah oui, mais je l'avais déjà posté cette démo, il y a quelqu'un d'ailleurs qui disait qu'en analyse non standard elle serait plus courte:

après je sais pas ce que c'est l'analyse non standard

Moi non plus je connais pas, enfin que de nom.

Selon Wikipedia

bon je pense alors que c'est pas tout de suite que j'irais voir ce que c'est

Moi non plus mais qui sait ca va peut être prendre de l'importance dans le futur l'analyse non standard c'est tout récent la.

J'ai fait (ab)²=(a³b)² ce que jai transformé en b²a²=a⁶b² ce qu'on a pas le droit de faire car dans cette question on ne sait pas si a et b commutent donc c'est une boulette ^^

J'ai pas cherché plus cet exercice, je suis un peu découragée par cette matière donc je préfère prendre du temps pour les autres...

ok oui ça commute pas a priori, avec leflamenquiste on se prend bien la tête dessus

une idée:

ba = a³b donc bab^-1=a³

on élève au carré en faisant attention  (pas de commutativité à priori donc

bab^-1bab^-1 = a⁶=a²

donc ba²b^-1=a² = a^-2 car a d'ordre 4

donc a²ba²=b

on élève au carré et on trouve  a²b²a² = b²

et cette équation d'inconnue b² admet les solutions 1 et a²

c'est le b a ba

merci carpediem

pourquoi a²b²a²=b² n'a que 1 et a pour solutions ?

essaie avec les autres élémments de ton groupe sachant que ba = a³b (*)

il ne t'en reste plus que 6 à essayer

tu peux aussi écrire a²b² = b²a² (car a² = a^-2)

si b² = a³ ça marche aussi mais alors a et b ne vérifient pas (*)
sauf si a³=1 et contradiction avec l'ordre de a
donc a³ n'est pas solution

idem pour les autres

ok je vois,

merci carpediem