Bonjour,
Ta définition est bonne et ta méthode aussi.

Bonjour, il me semble, d'après la définition que tu en as donnée, que la notion de centraliseur n'est pas propre à un groupe, mais à un élément g de ce groupe.
Par conséquent, il me semble qu'on a plutôt
(le g ne doit pas être quantifié)

Fractal

Oui Fractal a raison, là tu as pris la réunion des centraliseurs ...

Et si tu veux appronfondir, démontrer que le centre d'un groupe (ensemble des elements tel que leur centraliseur vaut G tout entier) est un sous groupe de G.

Bonne chance

Bonjour,

Tout d'abord, je tiens à préciser que le Fractal en vert ci-dessus n'a rien à voir avec le Fractal que je suis et qui écrit aujourd'hui (même pseudo) et qui rebondit sur le présent topic car dans mon cours, il est marqué ceci :

Si est un groupe quelconque, une partie quelconque de de ; l'ensemble suivant :

est un sous-groupe de appelé centralisateur de dans .

Dans cette définition, le est bien quantifié.

Quelqu'un serait-il en mesure de m'éclairer sur ce point ?

Je vous remercie.

slt

eh bien c'est confus tout ça!!

je reprend tout depuis le debut et sans LATEX (car tout ce qui a été dit ici est ... illisible voire faux)

G est un groupe et pour un élément a de G (et non pas une partie A de G) alors

si C(a) est le centralisateur de cet élément a alors on definit

C(a) est donc une partie de G qui se definie comme ceci C(a)={x est element de G | quelque soit x de G tel que xa=ax}

ici il n'est pas obligatoire que a soit dans C(a) mais tous les x de G qui verifient la phrase

quelque soit x de G tel que xa=ax alors ces x sont dans C(a)

ensuite alors on demontre que C(a) est un sous groupe de G

demonstration

tout d'abord on demontre que l'element neutre 1 est bien dans C(a)

a(x1)=ax=xa=(x1)a par consequent l'element x1 commute bien avec a

ensuite on demontre que pour tout couple d'éléments (x,y) est dans C(a)XC(a) alors xy est dans C(a)

en effet ax=xa et ay=ya de plus (ax)y=a(xy) or (ax)y=(xa)y=x(ay)=x(ya)=(xy)a   donc l'element xy commute bien avec l'element a

enfin l'inverse de x qui est dans C(a) et que l'on note x^-1 est bien dans C(a) en effet

x^-1a=(x^-1a)1=(x^-1a)(xx^-1) = x^-1(ax)x^-1=x^-1(xa)x^-1=(x^-1x)(ax^-1)=1.(ax^-1)=ax^-1

on verifie bien que si l'element x est dans C(a) alors son inverse aussi puisque là on viens de voir que x^-1commute bien avec a

Au temps pour moi, toutes mes excuses, j'ai fait quelques fautes de frappe, dans mon cours c'est marqué (et cette fois-ci j'ai re-revérifié) :


Si est un groupe quelconque, une partie de ; l'ensemble suivant :

est un sous-groupe de appelé centralisateur de dans .

Est-ce pour toi toujours aussi faux ?

toujours aussi faux car C_G(a) ou noté C(a) en sachant que a est dans G -un groupe- ici a n'est pas une partie de G mais est un element de G

je te le remet sous les yeux prend ton temps et relis tout attentivement

G est un groupe et pour un élément a de G (et non pas une partie A de G) alors

si C(a) est le centralisateur de cet élément a alors on definit

C(a) est donc une partie de G qui se definie comme ceci C(a)={x est element de G | quelque soit x de G tel que xa=ax}

ici il n'est pas obligatoire que a soit dans C(a) mais tous les x de G qui verifient la phrase

quelque soit x de G tel que xa=ax alors ces x sont dans C(a)

ensuite alors on demontre que C(a) est un sous groupe de G

demonstration

tout d'abord on demontre que l'element neutre 1 est bien dans C(a)

a(x1)=ax=xa=(x1)a par consequent l'element x1 commute bien avec a

ensuite on demontre que pour tout couple d'éléments (x,y) est dans C(a)XC(a) alors xy est dans C(a)

en effet ax=xa et ay=ya de plus (ax)y=a(xy) or (ax)y=(xa)y=x(ay)=x(ya)=(xy)a   donc l'element xy commute bien avec l'element a

enfin l'inverse de x qui est dans C(a) et que l'on note x^-1 est bien dans C(a) en effet

x^-1a=(x^-1a)1=(x^-1a)(xx^-1) = x^-1(ax)x^-1=x^-1(xa)x^-1=(x^-1x)(ax^-1)=1.(ax^-1)=ax^-1

on verifie bien que si l'element x est dans C(a) alors son inverse aussi puisque là on viens de voir que x^-1commute bien avec a

Bonjour,

N'importe quoi ! L'on a bien



Cela étant dit, que veux-tu savoir Fractal ?

n'importe quoi!!

les mecs relisez le premier post!

je rappelle la question

Citation :
Dans un groupe G, on appelle centralisateur d'un élément gG l'ensemble des éléments de G qui commutent avec g.
Montrer que le centralisateur d'un élément de G est un sous-groupe de G.

Je pense que j'aurais dû ouvrir un topic spécifique car là, ça prête à confusion.

pourquoi?

Fractal repondait au premier post et toi à celui de Fractal non ?

Non, pas du tout, mais je comprends que ce ne soit pas forcément très clair de prime abord.

Je posais simplement une question par rapport à ce qui est indiqué dans mon cours (mon post de 07:11 rectifié à 09:38), et par rapport au fait que Fractal en vert évoquait initialement  la non quantification de l'élément .

Fractal inital :
(le g ne doit pas être quantifié)

Moi :
Si est un groupe quelconque, une partie de ; l'ensemble suivant :

est un sous-groupe de appelé centralisateur de dans .

Il a donc 2 différences :

*Il y a donc 2 différences

Bonjour !
La différence c'est l'ensemble : réduit au singleton dans le centralisateur d'un élément . Il est sous-entendu qu'on confond et
Tu aurais pu écrire : (une écriture avec n'est pas possible puisque est un élément donné) !

Ok, je te remercie.