Un groupe est un ensemble muni d'une opération interne. Donc ton groupe G est muni de la loi + mais comme son nom l'indique, une loi interne associe à 2 éléments du groupe un autre élément du groupe, or par exemple, -5+(-4)=-9 n'appartient pas à G donc (G,+) n'est pas un groupe.
Pour les mêmes raisons, (G,) n'est pas un groupe.
H n'est donc pas un sous-groupe, puisque G n'est pas un groupe !

(,+) est un groupe et (2,+) est un de ses sous-groupes et donc le neutre est 0 et tout se passe bien.
Par contre, (,) n'est pas un groupe. En effet, seul 1 et -1 sont symétrisables et pour être un groupe, il faut que tous les élements soient symétrisables.

Un très bon livre sur la théorie des groupes : Josette Calais - Elements de théorie des groupes

salut reponse42, c'est curieux car dans mon livre il n'est pas du tout dit que dans la définition de groupe, l'opération sur 2 éléments de G appartient forcément à G, il est juste dit :

assosiative pour l'opération, élément neutre et tout élément possède un inverse.

Qu'entends tu par dans (Z,x) 1 et -1 sont symétrisables?

Ensuite je ne comprends pas dans le groupe 2Z, 1 n'appartient pas à 2Z étant donné que c'est l'ensemble des nombres pairs donc comment 2Z pourrait etre un sous groupe de Z?

Salut vous deux

En vrai il y a souvent QUATRES choses à vérifier pour montrer que est un groupe :

           est associative.
           a un élément neutre.
          Tout élément de est symétrisable par rapport à

Et celle qu'on oublie le plus souvent :

          La loi est interne.

Que la loi soit interne revient à dire que la composée par de deux éléments de ton groupe est un élément de ton groupe.
C'est ce que reponse42 t'expliquait, j'espère que tu as déjà compris ça



Ensuite, et sont les seuls éléments de l'ensemble des entiers relatifs à être symétrisable par rapport à :

          En effet, soit un élément d'un groupe :
          Comme est un groupe alors chaqu'un de ses éléments admet un opposé par rapport à .
          L'opposé de est et on le note .

Or tu remarques que par exemple n'as pas de symétrique dans puisque sont inverse pour est or et c'est comme ça pour tout les éléments sauf et .

Le symétrique de est toujours choisi de sorte que
(D'ailleurs ce symétrique est unique, tu peux essayer de le prouver par l'absurde ^^)


Voilà Voilà j'espère que ça t'aide un peu ce que je t'ai raconté

Ah j'avais pas vu ta dernière phrase,

On a le groupe et on veut montrer que en est un sous groupe.

Tu dois vérifier quatres choses pour montrer que une partie est un sous-groupe du groupe :

Citation :
               L'élément neutre de est l'élément neutre de .
               Si alors l'inverse de appartient aussi à .
               Si et appartiennent à , alors appartient à
               Que est interne.

(Attention : le symétrique d'un élément par rapport à est l'élément )

Salut olive et merci, donc comme tu l'as dit, 0 est l'élément neutre de de Z et 2Z, ça c'est ok.

Soit x appartient à 2Z, -x appartient également à 2Z c'est une évidence vu que Z est l'ensemble des entiers relatifs.
Soient (x,y) appartenant à 2Z, alors x+y appartient à 2Z, en effet la somme de 2 nombres pairs donne un nombre pair.
Tout opération de x et y appartient à 2Z car 2Z est infini et que la encore la somme de 2 entiers pairs donne un entier pair, donc 2Z est un groupe .

Oui c'est ça à peu près ça

merci pour ton aide olive c'est sympa, à tout hasard si tu t'y connais en groupe j'ai posté un petit message sur les groupe quotients, ton avis m'interesserait mais si tu n'as pas le temps ya pas de soucis j'attendrais une réponse no problem.

Je t'en prie

J'y ais déjà jeté un coup d'oeil mais je n'ai pas vraiment vu les groupes quotients donc je ne saurais pas t'aider désolé ..

pas de prob merci